В королевстве 29 городов. Некоторые из них соединены прямыми авиарейсами. Известно, что если между городами $A$ и $B$ есть прямой авиарейс, и между городами $B$ и $C$ есть прямой авиарейс, то между городами $A$ и $C$ нет прямого авиарейса. Какое наибольшее количество прямых авиарейсов может быть в королевстве?
Ответ:
Решение:
В футбольном турнире, проходящем в один круг (каждая команда должна сыграть с каждой ровно по одному разу), играют $N$ команд. В некоторый момент турнира тренер команды $A$ заметил, что любые две команды, отличные от $A$, сыграли разное количество игр. Также известно, что к этому моменту команда $A$ сыграла 15 игр. Какое количество $N$ команд могло участвовать в этом турнире? В ответ запишите сумму всех возможных значений $N$.
Ответ:
Решение:
В некотором государстве 40 городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно 6 авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов $A$, $B$, $C$ замкнутой, если все три авиарейса $AB$, $BC$, $CA$ осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?
Ответ:
Решение:
В Городском Собрании $24$ депутата. Любые двое из них либо дружат, либо враждуют, причём известно, что каждый дружит ровно с $7$ другими. Каждые три депутата образуют комиссию. Найдите общее число комиссий, в которых все три члена попарно дружат или все трое попарно враждуют.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно начертить линию \[ x\sin\sqrt{16-x^2-y^2}=0 \] без отрывов и повторов, т. е. не отрывая карандаша и не проводя более одного раза по одной и той же линии.
Ответ:
Решение:
Волейбольный чемпионат с участием 16 команд проходил в один круг (каждая команда играла с каждой ровно один раз, ничьих в волейболе не бывает). Оказалось, что какие-то две команды одержали одинаковое число побед. Докажите, что найдутся три команды, которые выиграли друг у друга по кругу (то есть $A$ выиграла у $B$, $B$ выиграла у $C$, а $C$ выиграла у $A$).
Ответ:
Решение:
В турнире по футболу участвует $2n$ команд ($n\gt 1$). В каждом туре команды разбиваются на $n$ пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели $2n-1$ тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось $3$ очка, за ничью — $1$, за поражение — $0$ очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.
Ответ:
Решение:
В турнире каждый участник встретился с каждым из остальных один раз. Каждую встречу судил один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает, что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?
Ответ:
Решение:
Пете необходимо спаять электрическую схему, состоящую из $10$ чипов, соединённых между собой проводами (один провод соединяет два различных чипа; два чипа может соединять не более одного провода), при этом из одного чипа должно выходить $9$ проводов, из одного — $8$, из одного — $7$, из двух — по $5$, из трёх — по $3$, из одного — $2$, из одного — $1$. Может ли Петя спаять такую схему?
Ответ:
Решение:
В шахматном кружке провели турнир — каждый сыграл с каждым по одной партии. Оказалось, что для любой тройки участников среди результатов их взаимных партий есть хотя бы одна ничья и хотя бы одна игра с победителем. Какое наибольшее число игроков могло участвовать в турнире?
Ответ:
Решение:
В городе $10$ проспектов и $23$ улицы, которые образуют прямоугольную сетку: все улицы параллельны между собой и все проспекты перпендикулярны улицам (см. рис.). Точку пересечения улицы и проспекта будем называть «перекрёстком». Городские власти проводят дорожные работы на некоторых участках дороги (отрезок улицы или проспекта между соседними перекрёстками). Во время ремонта ездить по этому участку нельзя. Какое наибольшее количество участков можно ремонтировать одновременно, чтобы при этом из любого перекрестка можно было проехать на любой другой?
Ответ:
Решение:
Английский клуб посещают $20$ джентльменов. Некоторые из них знакомы (знакомства взаимные, т. е. если $A$ знает $B$, то и $B$ знает $A$). Известно, что в клубе нет трех попарно знакомых между собой джентльменов. Однажды джентльмены пришли в клуб, и каждая пара знакомых пожала друг другу руки (один раз). Какое наибольшее число рукопожатий могло быть сделано?
Ответ:
Решение:
Каждый из участников школьного кружка, кроме Андрея, дружит с разным числом других участников. Андрей дружит с $9$ из них. Каково наибольшее возможное число школьников в кружке?
Ответ:
Решение:
В некотором государстве $35$ городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно $12$ авиарейсов первой авиакомпании. Назовём тройку городов $A$, $B$, $C$ замкнутой, если все три авиарейса $AB$, $BC$, $CA$ осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?
Ответ:
Решение:
В турнире по волейболу участвовало 20 команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу, за выигрыш начислялось 3 очка, за проигрыш очки не начислялись (ничьих в волейболе нет). Очки, набранные командами, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая второе место?
Ответ:
Решение:
В компьютерном центре стоит 200 компьютеров, некоторые из них (попарно) соединены кабелями, всего использовано 345 кабелей. Будем называть «кластером» множество компьютеров, такое, что из любого компьютера этого множества сигнал по проводам может добраться до всех остальных. В начале все компьютеры образовывали один кластер. Но однажды ночью злой хакер перерезал несколько кабелей так, что образовалось 8 кластеров. Найдите наибольшее возможное число кабелей, которые были перерезаны.
Ответ:
Решение:
В Империи Вестероса было 1000 городов и 2017 дорог (каждая дорога соединяет какие-то два города). Из каждого города можно было проехать в каждый. Однажды злой волшебник заколдовал $N$ дорог, и ездить по ним стало нельзя. Образовалось 7 королевств, так, что в каждом королевстве можно добраться из любого города в любой по дорогам, а из одного королевства в другое по дорогам добраться нельзя. При каком наибольшем $N$ это возможно?
Ответ:
Решение:
В караване $17$ верблюдов. В понедельник каждый верблюд плюнул ровно в $N$ других верблюдов. При каком наименьшем $N$ можно гарантировать, что нашлись два верблюда, которые плюнули друг в друга?
Ответ:
Решение:
На острове расположено несколько деревень. Между некоторыми деревнями проложены дороги. Известно, что из любой деревни в любую другую можно добраться, причём по единственному маршруту. Также известно, что есть четыре деревни, из которых выходят $5$, $6$, $7$ и $9$ дорог соответственно, а из остальных деревень выходит ровно по одной дороге. Сколько деревень может быть на острове?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: