Федерация спортивной борьбы присвоила каждому участнику соревнования квалификационный номер. Известно, что во встречах борцов, квалификационные номера которых отличаются более чем на $2$ номера, всегда побеждает борец с меньшим номером. Турнир для $256$ борцов проводится по олимпийской системе: в начале каждого дня бойцы разбиваются на пары, проигравший выбывает из соревнований (ничьих не бывает). Какой наибольший квалификационный номер может иметь победитель?
Ответ:
Решение:
Прямоугольник $\Pi$ разбит прямыми, параллельными его сторонам, на девять маленьких прямоугольников. Про какое наименьшее количество маленьких прямоугольников достаточно узнать площади, чтобы можно было однозначно определить площадь прямоугольника $\Pi$?
Ответ:
Решение:
Назовем словом размах разность между наибольшим и наименьшим числом в наборе чисел $(x_1,\ldots,x_n)$. Например, размах набора $(4,1,7,1,3)$ равен $6$ (разность $7$ и $1$).
Дан набор $2025$ чисел $(x_1,\ldots,x_{2025})$ c размахом $1$. Найдите наибольший возможный размах у набора чисел $(y_1,\ldots,y_{2025})$, где \[ y_1=x_1,\quad y_2=\dfrac{x_1+x_2}{2},\quad y_3=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\quad\ldots,\quad y_{2025}=\dfrac{x_1+\ldots+x_{2025}}{2025}. \]
Дан набор $2025$ чисел $(x_1,\ldots,x_{2025})$ c размахом $1$. Найдите наибольший возможный размах у набора чисел $(y_1,\ldots,y_{2025})$, где \[ y_1=x_1,\quad y_2=\dfrac{x_1+x_2}{2},\quad y_3=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\quad\ldots,\quad y_{2025}=\dfrac{x_1+\ldots+x_{2025}}{2025}. \]
Ответ:
Решение:
Империя Горных гномов состоит из $2023$ королевств, в каждом из королевств гномы добывают золото и алмазы. Верно ли, что всегда можно выбрать такие $1012$ королевств, которые производят не менее $50\%$ золота и не менее $50\%$ алмазов (от общего производства в империи)?
Ответ:
Решение:
Имеется круглый вращающийся стол с 16 секторами, на которых по кругу написаны числа $0, 1, 2, \ldots, 7, 8, 7, 6, \ldots, 2, 1$. За столом сидят 16 игроков, занумерованных по порядку. После каждого вращения стола каждый игрок получает столько очков, сколько написано на секторе, за которым он оказался после остановки стола. Оказалось, что после 13 вращений стола игрок номер 5 набрал в сумме 72 очка, а игрок номер 9 набрал в сумме 84 очка. Сколько очков набрал игрок номер 1?
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные наборы, которые состоят из $2017$ различных натуральных чисел и в каждом из которых ни одно из чисел нельзя представить в виде суммы двух других чисел этого набора. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число в таком наборе?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из множества всех нечётных чисел, лежащих между $16$ и $2016$, чтобы ни одно из выбранных чисел не делилось ни на одно другое?
Ответ:
Решение:
Множество $X$ состоит из пяти различных чисел $x_1$, …, $x_5$, а множество $Y$ — из семи различных чисел $y_1$, …, $y_7$. Какое наибольшее количество различных чисел заведомо содержит множество, состоящее из сумм вида $x_i+y_j$, где $i\in\{1,\ldots,5\}$, $j\in\{1,\ldots,7\}$?
Ответ:
Решение:
Для охраны объекта заказчик договорился с охранниками о следующем: все они укажут отрезки времени своих предполагаемых дежурств с единственным условием, чтобы их объединение составляло заранее заданный заказчиком отрезок времени, а он выберет из этих отрезков любой набор, удовлетворяющий тому же условию, и оплатит работу из расчёта 300 руб. в час каждому дежурному. Какой наибольший отрезок времени заказчик может задать, чтобы наверняка уложиться в 90000 руб?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее (одинаковое) число карандашей нужно положить в каждую из 8 коробок так, чтобы в любых 5 коробках нашлись карандаши любого из 24 заранее заданных цветов (карандашей имеется достаточное количество)?
Ответ:
Решение:
Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток $[0;60)$.
а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трёх суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?
а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трёх суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?
Ответ:
Решение:
На числовой прямой отмечены четыре синие точки, соответствующие первым членам геометрической прогрессии с первым членом $-2$ и знаменателем $-2$, а также четыре зелёные точки, соответствующие первым членам некоторой арифметической прогрессии с первым членом $-5$. Какова при этом наименьшая возможная сумма длин четырёх отрезков с разноцветными концами, включающими все восемь отмеченных точек? (Каждая из восьми точек является концом одного из отрезков.)
Ответ:
Решение:
На собеседовании группе из $8$ претендентов предложили тест, содержащий $m$ вопросов. Сложность вопросов теста определялась условием того, что любая группа из $4$ претендентов, работая сообща, могла правильно ответить на все вопросы теста, при этом меньшее количество участников собеседования, объединившись в группу, обязательно допускали хотя бы одну ошибку. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $m$.
Ответ:
Решение:
Можно ли множество из $2017$ чисел $\{\log_25,\log_26,\log_27,\ldots,\log_22021\}$ разбить на две части так, чтобы сумма чисел, попавших в одну из этих частей, отличалась от суммы чисел в другой не более, чем на $1$ (по абсолютному значению)?
Ответ:
Решение:
Имеется $2600$ наборов по $50$ карточек. На каждой карточке написано натуральное число, причём в каждом наборе все числа, написанные на карточках, различны. Оказалось, что какие бы два набора ни взять, на $100$ карточках этих наборов будет написано ровно $99$ различных натуральных чисел. Какое наименьшее количество различных натуральных чисел может быть написано на всех карточках этих $2600$ наборов?
Ответ:
Решение:
Каждый из 11 учеников записал к себе в тетрадь какие-то натуральные числа, не превосходящие $N$. Оказалось, что если взять любых 6 учеников, то в их тетрадях можно найти любое натуральное число, не превосходящее $N$, а если взять любых 5 учеников — нет (то есть найдется число, которого нет ни в одной тетради этих 5 учеников). При каком наименьшем $N$ такое может быть?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели 95 мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $90$ мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках трёх ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
На столе лежит 150 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 75 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?
Ответ:
Решение:
На столе лежит 129 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 65 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?
Ответ:
Решение: