При каком наименьшем $n$ существуют $n$ чисел из интервала $(-1;1)$, таких, что их сумма равна $0$, а сумма их квадратов равна $30$?
Ответ:
Решение:
В футбольном турнире играли семь команд: каждая команда по одному разу сыграла с каждой. В следующий круг отбираются команды, набравшие тринадцать и более очков. За победу даётся 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Какое наибольшее количество команд может выйти в следующий круг?
Ответ:
Решение:
На $100$ мест за круглым столом посадили $50$ мужчин и $50$ женщин. Будем называть человека довольным, если у него есть сосед противоположного пола. Может ли отношение числа довольных мужчин к числу довольных женщин быть больше $1{,}9$?
Ответ:
Решение:
На международный чемпионат по настольному теннису съехалось 200 участников. Игра идёт на выбывание, т. е. в каждом матче участвует два игрока, проигравший выбывает из участия в чемпионате, а выигравший — остаётся. Найдите наибольшее возможное количество участников, которые выиграли не менее трёх партий.
Ответ:
Решение:
На международный чемпионат по игре в StarCraft съехалось 100 участников. Игра идёт на выбывание, т. е. в каждом матче участвует два игрока, проигравший выбывает из участия в чемпионате, а выигравший — остаётся. Найдите наибольшее возможное количество участников, которые выиграли ровно две партии.
Ответ:
Решение:
Каждый киндер-сюрприз содержит ровно 3 различных гномика, а всего есть 12 разновидностей гномиков. В коробке лежит достаточно много киндер-сюрпризов, причем в любых двух из них тройки гномиков не одинаковы. Какое наименьшее количество киндер-сюрпризов нужно купить, чтобы после их вскрытия в них заведомо оказалось хотя бы по одному гномику всех 12 разновидностей?
Ответ:
Решение:
Для рентабельности работы таксопарк должен выпускать на линию не менее $12$ машин ежедневно. Городские власти, борясь за экологию, требуют, чтобы каждое городское такси работало не более $6$ дней в неделю. Какое минимальное число автомобилей должно быть в таксопарке, чтобы он был рентабельным и соблюдал экологию? Дни, когда автомобили не выходят на линию, определяет руководство таксопарка.
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $76$ мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых трёх мудрецов, сидящих подряд, найдётся по крайней мере один в красном колпаке. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Ответ:
Решение:
У Пети есть 10 карточек, на каждой из которых написано одно натуральное число. Все числа на карточках попарно различны, а наибольшее из них равно $N$. Оказалось, что среднее арифметическое чисел на карточках равно 15. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
Ответ:
Решение:
Вася выписал в строку натуральные числа $a_1\lt a_2\lt \ldots\lt a_{10}$. Оказалось, что среднее арифметическое этих чисел равно 25. Какое наименьшее значение может принимать число $a_{10}$?
Ответ:
Решение:
Среднее арифметическое шестнадцати различных натуральных чисел равно $21$. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из этих чисел.
Ответ:
Решение:
На доске выписано $(n-1)n$ выражений: $x_1-x_2$, $x_1-x_3$, $\ldots$, $x_1-x_n$, $x_2-x_1$, $x_2-x_3$, $\ldots$, $x_2-x_n$, $\ldots$, $x_n-x_{n-1}$, где $n\geqslant 3$. Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо $(x_1-x_2)+(x_2-x_3)$ Лёша запишет $x_1-x_3$, а вместо $(x_1-x_2)+(x_2-x_1)$ он запишет $0$). Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?
Ответ:
Решение:
В «Драконьем покере» в колоде четыре масти. Туз приносит 1 очко, валет — 2 очка, двойка — $2^2$, тройка — $2^3$, …, десятка — $2^{10}=1024$ очка. Короли и дамы отсутствуют. Можно выбирать из колоды любое количество карт. Сколькими способами можно набрать 2018 очков?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами из натуральных чисел от $2\,002$ до $2\,025$ можно выбрать $6$ чисел так, чтобы среди выбранных чисел нашлось $3$ числа, дающих одинаковые остатки от деления на $8$?
Ответ:
Решение:
Спортсмен планирует свой режим тренировок на два месяца. В течение $60$ дней ему необходимо провести $9$ тренировок, причём после каждой тренировки, кроме последней, должны обязательно идти три дня перерыва, не включающие день тренировки. Сколькими способами он может составить себе расписание? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение:
Петя записал на доске множество $A$ всех натуральных чисел от $1$ до $100$. Затем Вася для всех непустых подмножеств множества $A$ нашёл средние арифметические входящих в них чисел, после чего сообщил Пете число $x$ — среднее арифметическое всех найденных средних арифметических. Затем Петя заменил в своём множестве $A$ число $10$ на число $1000$, а Вася пересчитал ту же величину $x$ для нового множества. На сколько увеличилось значение $x$?
Ответ:
Решение:
Рассматривают все непустые подмножества множества $T=\{1;2;\ldots;100\}$. Для каждого из них вычисляют среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Пусть $A$ — среднее арифметическое всех средних арифметических, вычисленных для подмножеств, содержащих число $40$, а $B$ — аналогичная величина для всех подмножеств, содержащих число $61$. Найдите сумму $A+B$.
Ответ:
Решение:
В научной лаборатории составляется план запуска решения задач на кластере. За $100$ дней требуется сделать $10$ запусков, а после каждого запуска, кроме последнего, кластер загружен только данной задачей в течение $7$ дней, включая день запуска. При последнем запуске требуется обработать результаты всех предыдущих запусков, на что требуется $8$ дней работы кластера, включая день последнего запуска. Сколькими способами сотрудники лаборатории могут выбрать дни запусков расчётов? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение:
На доске выписано $10n$ последовательных натуральных чисел ($n\in\mathbb N$). Из них выбираются три попарно различных числа, среди которых ровно одно кратно 2 и ровно одно кратно 5. Известно, что можно составить ровно 5112 таких троек. Чему равно $n$?
Ответ:
Решение:
На доску выписаны попарно различные натуральные числа: часть из них чётны, но не делятся на $3$, остальные же делятся на $3$ и при этом нечётны. Оказалось, что выбрать тройку чисел из выписанных на доску так, чтобы среди них оказалось хотя бы одно чётное и хотя бы одно кратное $3$, можно $25$ способами. Сколько было выписано чисел?
Ответ:
Решение: