Есть 200 различных карточек с числами $2, 3, 2^2, 3^2, \ldots, 2^{100}, 3^{100}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было кубом целого числа?
Ответ:
Решение:
На столе лежат 140 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 417, 420$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 7?
Ответ:
Решение:
Даны 6000 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 6000 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на 100. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Даны 2117 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 2117 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на 100. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В сумме $32+33+34+\ldots+100$ нужно вычеркнуть несколько слагаемых так, чтобы получившаяся сумма стала равна 4455. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
$19$ депутатов Городского Собрания выбирают Председателя из $5$ кандидатов. Каждый голосует ровно за одного из них. После голосования составляется протокол заседания, в котором указывается лишь количество голосов за каждого кандидата (без указания, кто за кого проголосовал). Сколько различных протоколов может получиться?
Ответ:
Решение:
$26$ солдат выстроены в одну шеренгу. Сколько существует различных способов выбрать $11$ из них так, что никакие двое из них не стоят рядом?
Ответ:
Решение:
У Васи есть семь книг по математике, а у Вани — девять. Все $16$ книг разные. Сколькими способами они смогут обменяться тремя книгами (то есть дать три книги в обмен на три книги)?
Ответ:
Решение:
Андрею нравятся все числа, не делящиеся на $3$, а Тане нравятся все числа, в которых нет цифр, делящихся на $3$.\ а) Сколько четырёхзначных чисел нравятся и Андрею, и Тане?\ б) Найдите общую сумму цифр всех таких четырёхзначных чисел.
Ответ:
Решение:
Назовем число «новогодним», если в нем все цифры различные, оно не начинается с цифры 2 и при вычеркивании некоторого числа его цифр можно получить 2018. Сколько существует различных семизначных «новогодних» чисел?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, сумма цифр каждого из которых равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на 125-м месте?
Ответ:
Решение:
Сколько существует четырёхзначных чисел, обладающих следующими свойствами: все цифры числа чётные; число кратно четырём; если зачеркнуть последнюю цифру, то полученное трёхзначное число не кратно четырём?
Ответ:
Решение:
Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 1400. Ответ необходимо представить в виде целого числа.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющихся степенями числа 3 с натуральными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $27^{45}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным $1$) с целыми коэффициентами таких, что они имеют хотя бы один корень, все их корни являются степенями числа $7$ с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $49^{68}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющихся степенями числа 7 с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $343^{36}$.
Ответ:
Решение:
Из карточек, на которых написаны цифры 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4 составляются натуральные числа, делящиеся на 36. Сколькими способами это можно сделать? (некоторые карточки при составлении чисел можно не использовать, число не может начинаться на 0).
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(a,b)$ таких, что $1\leqslant a\leqslant 70$, $1\leqslant b\leqslant 50$, и при этом площадь $S$ фигуры, заданной системой неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\geqslant 1,\\ x\leqslant a,\\ y\leqslant b, \end{cases} \] такова, что число $2S$ кратно $5$.
Ответ:
Решение:
Есть восемь карточек с цифрами $0$, $1$, $2$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$. Сколько существует различных семизначных чисел, делящихся на $15$, которые можно сложить из этих карточек?
Ответ:
Решение:
Число $58964$ написали $8$ раз подряд, при этом получилось $40$-значное число \[ 5896458964589645896458964589645896458964. \] Из этого $40$-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания $38$-значное число делилось на $6$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение: