В корзине лежат:
2. При каком наименьшем $k$ среди произвольно выбранных $k$ фруктов обязательно найдутся разноцветные яблоко и груша?
- яблоки: 5 красных, 12 жёлтых и 16 зелёных;
- груши: 14 красных, 13 жёлтых и 8 зелёных.
2. При каком наименьшем $k$ среди произвольно выбранных $k$ фруктов обязательно найдутся разноцветные яблоко и груша?
Ответ:
Решение:
На доске были написаны числа $1, 2, 3, \ldots, 235$. Петя стёр несколько из них. Оказалось, что среди оставшихся чисел никакое не делится на разность никаких двух других. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?
Ответ:
Решение:
В спортивной школе занимается 55 человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?
Ответ:
Решение:
У дракона есть 40 кучек золотых монет, в любых двух из них количество монет отличается. После того как дракон разграбил соседний город и принес еще золото, количество монет в каждой кучке увеличилось либо в 2, либо в 3, либо в 4 раза. Какое наименьшее количество различных кучек монет могло получиться?
Ответ:
Решение:
Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла 9 носков. Среди любых четырёх носков хотя бы два принадлежат одному хозяину. А среди любых пяти носков не больше трёх имеют одного хозяина. Сколько детей разбросало носки, и сколько носков принадлежит каждому ребенку?
Ответ:
Решение:
В квадрате со стороной 5 произвольным образом отметили 201 точку. Верно ли, что какие-то 5 точек можно накрыть квадратом со стороной 1?
Ответ:
Решение:
На фотографирование класса пришли 4 девочки и 8 мальчиков. Дети по двое подходят к фотографу и делают совместное фото. Среди какого наименьшего количества фотографий обязательно есть либо фотография двух мальчиков, либо фотография двух девочек, либо две фотографии с одними и теми же детьми?
Ответ:
Решение:
Дана замкнутая тысячезвенная ломаная, в которой длины всех звеньев равны, никакие два конца несоседних звеньев не совпадают и никакой конец одного из звеньев не лежит внутри другого звена. При каком наибольшем $k$ может случиться, что каждое звено пересекает хотя бы $k$ из оставшихся звеньев под прямым углом?
Ответ:
Решение:
В клетках таблицы $6\times6$ расставлены все натуральные числа от 1 до 36 (в каждой клетке стоит одно число). Назовём уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата $2\times2$. Обозначим через $m$ наименьшую сумму чисел в «уголке», а через $M$ — наибольшее из $m$ по всем возможным расстановкам чисел в таблице. Найдите $M$.
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечено $n$ точек. Если провести серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему любые две отмеченные точки, то с одной стороны от него лежит одна отмеченная точка, а с другой стороны от него — $n-1$ отмеченная точка (на самом серединном перпендикуляре отмеченных точек нет). Каково наибольшее возможное значение $n$?
Ответ:
Решение:
В Тридевятом царстве 100 городов, и каждые два города соединены не более чем одной дорогой. Однажды царь приказал ввести на каждой дороге одностороннее движение, а заодно покрасить каждую дорогу в белый или черный цвет. Министр транспорта с гордостью сообщил, что после выполнения приказа из любого города в любой другой можно добраться по дорогам, чередуя их цвета, причем так, что первая дорога в пути будет белой. Какое наименьшее количество дорог могло быть в этой стране? Добираясь из города в город, можно проезжать через промежуточные города любое число раз.
Ответ:
Решение:
Среди натуральных чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$ нет одинаковых, а разность между наибольшим и наименьшим из них меньше 1000. При каком наибольшем $k$ может случиться, что все квадратные уравнения $a_ix^2+2a_{i+1}x+a_{i+2}=0$, где $1\leqslant i\leqslant k-2$, не имеют корней?
Ответ:
Решение:
При каком наибольшем $n$ существует выпуклый $n$-угольник, у которого длины диагоналей принимают не больше двух различных значений?
Ответ:
Решение:
Несколько команд сыграли турнир в один круг, причём ничьих не было. Оказалось, что среди любых 100 команд есть команда, выигравшая у всех остальных 99 команд, но нет команды, проигравшей всем остальным 99 командам. Какое наибольшее число команд могло участвовать в турнире?
Ответ:
Решение:
В языке племени УЫ всего две буквы: «У» и «Ы». Словом считается любая последовательность из $2n$ букв У и $2n$ букв Ы (число $n$ дано и фиксировано). Языковеды называют слова похожими, если одно можно получить из другого одной перестановкой двух соседних букв У и Ы. Какое наибольшее количество слов можно выписать на доску так, чтобы любые два из выписанных слов не были похожи?
В записи ответа допустимы только четыре арифметические операции, возведение в степень, взятие факториала и стандартных комбинаторных величин, там не должно содержаться многоточий, и число использованных операций не должно зависеть от $n$.
В записи ответа допустимы только четыре арифметические операции, возведение в степень, взятие факториала и стандартных комбинаторных величин, там не должно содержаться многоточий, и число использованных операций не должно зависеть от $n$.
Ответ:
Решение:
Имеется кубик, каждая грань которого разбита на 4 одинаковые квадратные клетки. Олег хочет отметить невидимыми чернилами 8 клеток так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей стороны. У Рустема есть детекторы. Если детектор помещен в клетку, чернила на ней делаются видимыми. Какое наименьшее число детекторов Рустем может поместить в клетки так, чтобы, какие бы клетки после этого Олег ни отметил, можно было определить все отмеченные клетки?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$. В городе несколько детей, они ходят в несколько кружков. Известно, что в каждый кружок ходит не более $3k$ детей, любой ребёнок ходит ровно в три кружка, и для любых двух детей есть кружок, в который оба они ходят. Какое наибольшее количество детей может быть в городе?
Ответ:
Решение:
На клетчатой белой доске размером $25\times25$ клеток несколько клеток окрашено в чёрный цвет, причём в каждой строке и каждом столбце окрашено ровно 9 клеток. При каком наименьшем $k$ заведомо можно перекрасить $k$ клеток в белый цвет таким образом, чтобы нельзя было вырезать чёрный квадрат $2\times2$?
Ответ:
Решение:
В вершинах правильного 300-угольника расставлены числа от 1 до 300 по одному разу в некотором порядке. Оказалось, что для каждого числа $a$ среди ближайших к нему 15 чисел по часовой стрелке столько же меньших $a$, сколько и среди 15 ближайших к нему чисел против часовой стрелки. Число, которое больше всех 30 ближайших к нему чисел, назовём огромным. Каково наименьшее возможное количество огромных чисел?
Ответ:
Решение:
Имеется клетчатая доска размером $2n\times2n$. Петя поставил на неё $(n+1)^2$ фишек. Кот может одним взмахом лапы смахнуть на пол любую одну фишку или две фишки, стоящие в соседних по стороне или углу клетках. За какое наименьшее количество взмахов кот заведомо сможет смахнуть на пол все поставленные Петей фишки?
Ответ:
Решение: