На столе лежит 129 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 65 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?
Ответ:
Решение:
В клубе собрались 13 путешественников. Когда зашёл разговор о стране $N$, оказалось, что вместе любые 6 путешественников побывали во всех городах страны $N$ (то есть каждый город посетил хоть один из этих 6 путешественников), а любые 5 — нет (то есть найдётся город, в котором не был ни один из этих 5 путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране $N$ это могло быть?
Ответ:
Решение:
В турнире участвовали $89$ теннисистов. Все игры проходили на одном корте. Спортсмен, проигравший хотя бы одну игру, выбывает из турнира. Известно, что у участников каждой встречи количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну. Какое наибольшее число игр мог сыграть победитель турнира?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5?
Ответ:
Решение:
В эстафетном забеге Москва — Петушки участвовали две команды по $20$ человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на $20$ не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных участников могут быть различны). Первые участники обеих команд стартовали одновременно, а передача эстафеты происходит мгновенно. Какое максимальное количество обгонов могло быть в таком забеге? Опережение на границе этапов обгоном не считается.
Ответ:
Решение:
В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное $k$, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять $k$ белых и $k$ фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.
Ответ:
Решение:
В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более $7\%$ жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением, что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?
Ответ:
Решение:
На доске написаны числа $1, 2, 3, \ldots, 27$. За одну операцию Саша может выбрать два числа на доске, стереть их и записать на доску сумму стёртых чисел. Такими операциями он хочет добиться, чтобы на доске не нашлись одно или несколько чисел, сумма которых равна $27$ (сумма одного числа это само это число). Какое наименьшее количество операций придётся сделать Саше?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем $n$ можно покрасить каждое натуральное число в один из $n$ цветов так, чтобы любые два числа, отличающиеся на $5$, на $8$, на $10$, на $13$ и на $18$, были покрашены в разные цвета?
Ответ:
Решение:
Даша написала на доске числа $9, 10, 11, \ldots, 22$, а потом стёрла одно или несколько из них. Оказалось, что оставшиеся на доске числа нельзя разбить на несколько групп так, чтобы суммы чисел в группах были равны. Какое наибольшее значение может иметь сумма оставшихся на доске чисел?
Ответ:
Решение:
Петя строит замок из кубиков. В какой-то момент он изобразил недостроенный замок в трех проекциях: вид спереди, вид сбоку и вид сверху. Какое наименьшее количество кубиков может быть изображено на виде сверху?
Ответ:
Решение:
Ольга Ивановна, классная руководительница 5Б, ставит «Математический балет». Она хочет расставить мальчиков и девочек так, чтобы на расстоянии $5$ м от каждой девочки было ровно $2$ мальчика. Какое наибольшее количество девочек сможет участвовать в балете, если известно, что в нем участвуют $5$ мальчиков?
Ответ:
Решение:
На прямой расположены $16$ точек $A_1, \ldots, A_{16}$, идущие с промежутками 1 см. Миша строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{16}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Миша сможет построить по этим правилам?
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{16}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Миша сможет построить по этим правилам?
Ответ:
Решение:
Назовём число $x$ «$50$-подпирающим», если для любых $50$ действительных чисел $a_1, \ldots, a_{50}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее $50$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
В ответе укажите наибольшее $50$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
На прямой расположены $14$ точек $A_1, \ldots, A_{14}$, идущие с промежутками 1 см. Коля строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{14}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Коля сможет построить по этим правилам?
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{14}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Коля сможет построить по этим правилам?
Ответ:
Решение:
Назовём число $x$ «$25$-подпирающим», если для любых $25$ действительных чисел $a_1, \ldots, a_{25}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее $25$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
В ответе укажите наибольшее $25$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
На прямой расположены $15$ точек $A_1, \ldots, A_{15}$, идущие с промежутками 1 см. Петя строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{15}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Петя сможет построить по этим правилам?
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{15}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Петя сможет построить по этим правилам?
Ответ:
Решение:
Назовём число $x$ «20-подпирающим», если для любых 20 действительных чисел $a_1,\ldots,a_{20}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее 20-подпирающее число $x$, округлённое до тысячных по стандартным математическим правилам.
В ответе укажите наибольшее 20-подпирающее число $x$, округлённое до тысячных по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 8 расставлены в вершинах куба так, чтобы сумма чисел в любых трёх вершинах, находящихся на одной грани, была не менее 10. Какова наименьшая возможная сумма чисел, стоящих в вершинах одной грани?
Ответ:
Решение:
На окружности отмечены $18$ точек и рядом с каждой из них написано число. Каждое число равно модулю разности двух соседних с ним чисел. Наибольшее из чисел равно единице. Найти их сумму.
Ответ:
Решение: