В эстафетном забеге Москва — Петушки участвовали две команды по $20$ человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на $20$ не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных участников могут быть различны). Первые участники обеих команд стартовали одновременно, а передача эстафеты происходит мгновенно. Какое максимальное количество обгонов могло быть в таком забеге? Опережение на границе этапов обгоном не считается.
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5?
Ответ:
Решение:
В турнире участвовали $89$ теннисистов. Все игры проходили на одном корте. Спортсмен, проигравший хотя бы одну игру, выбывает из турнира. Известно, что у участников каждой встречи количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну. Какое наибольшее число игр мог сыграть победитель турнира?
Ответ:
Решение:
В клубе собрались 13 путешественников. Когда зашёл разговор о стране $N$, оказалось, что вместе любые 6 путешественников побывали во всех городах страны $N$ (то есть каждый город посетил хоть один из этих 6 путешественников), а любые 5 — нет (то есть найдётся город, в котором не был ни один из этих 5 путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране $N$ это могло быть?
Ответ:
Решение:
На столе лежит 129 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 65 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?
Ответ:
Решение:
На столе лежит 150 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 75 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $90$ мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках трёх ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели 95 мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
Каждый из 11 учеников записал к себе в тетрадь какие-то натуральные числа, не превосходящие $N$. Оказалось, что если взять любых 6 учеников, то в их тетрадях можно найти любое натуральное число, не превосходящее $N$, а если взять любых 5 учеников — нет (то есть найдется число, которого нет ни в одной тетради этих 5 учеников). При каком наименьшем $N$ такое может быть?
Ответ:
Решение:
Имеется $2600$ наборов по $50$ карточек. На каждой карточке написано натуральное число, причём в каждом наборе все числа, написанные на карточках, различны. Оказалось, что какие бы два набора ни взять, на $100$ карточках этих наборов будет написано ровно $99$ различных натуральных чисел. Какое наименьшее количество различных натуральных чисел может быть написано на всех карточках этих $2600$ наборов?
Ответ:
Решение:
Можно ли множество из $2017$ чисел $\{\log_25,\log_26,\log_27,\ldots,\log_22021\}$ разбить на две части так, чтобы сумма чисел, попавших в одну из этих частей, отличалась от суммы чисел в другой не более, чем на $1$ (по абсолютному значению)?
Ответ:
Решение:
На собеседовании группе из $8$ претендентов предложили тест, содержащий $m$ вопросов. Сложность вопросов теста определялась условием того, что любая группа из $4$ претендентов, работая сообща, могла правильно ответить на все вопросы теста, при этом меньшее количество участников собеседования, объединившись в группу, обязательно допускали хотя бы одну ошибку. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $m$.
Ответ:
Решение:
На числовой прямой отмечены четыре синие точки, соответствующие первым членам геометрической прогрессии с первым членом $-2$ и знаменателем $-2$, а также четыре зелёные точки, соответствующие первым членам некоторой арифметической прогрессии с первым членом $-5$. Какова при этом наименьшая возможная сумма длин четырёх отрезков с разноцветными концами, включающими все восемь отмеченных точек? (Каждая из восьми точек является концом одного из отрезков.)
Ответ:
Решение:
Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток $[0;60)$.
а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трёх суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?
а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трёх суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее (одинаковое) число карандашей нужно положить в каждую из 8 коробок так, чтобы в любых 5 коробках нашлись карандаши любого из 24 заранее заданных цветов (карандашей имеется достаточное количество)?
Ответ:
Решение:
Для охраны объекта заказчик договорился с охранниками о следующем: все они укажут отрезки времени своих предполагаемых дежурств с единственным условием, чтобы их объединение составляло заранее заданный заказчиком отрезок времени, а он выберет из этих отрезков любой набор, удовлетворяющий тому же условию, и оплатит работу из расчёта 300 руб. в час каждому дежурному. Какой наибольший отрезок времени заказчик может задать, чтобы наверняка уложиться в 90000 руб?
Ответ:
Решение:
Множество $X$ состоит из пяти различных чисел $x_1$, …, $x_5$, а множество $Y$ — из семи различных чисел $y_1$, …, $y_7$. Какое наибольшее количество различных чисел заведомо содержит множество, состоящее из сумм вида $x_i+y_j$, где $i\in\{1,\ldots,5\}$, $j\in\{1,\ldots,7\}$?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из множества всех нечётных чисел, лежащих между $16$ и $2016$, чтобы ни одно из выбранных чисел не делилось ни на одно другое?
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные наборы, которые состоят из $2017$ различных натуральных чисел и в каждом из которых ни одно из чисел нельзя представить в виде суммы двух других чисел этого набора. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее число в таком наборе?
Ответ:
Решение:
Имеется круглый вращающийся стол с 16 секторами, на которых по кругу написаны числа $0, 1, 2, \ldots, 7, 8, 7, 6, \ldots, 2, 1$. За столом сидят 16 игроков, занумерованных по порядку. После каждого вращения стола каждый игрок получает столько очков, сколько написано на секторе, за которым он оказался после остановки стола. Оказалось, что после 13 вращений стола игрок номер 5 набрал в сумме 72 очка, а игрок номер 9 набрал в сумме 84 очка. Сколько очков набрал игрок номер 1?
Ответ:
Решение: