Клетки бумажного квадрата $8\times 8$ раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата $2\times 2$, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.)
Ответ:
Решение:
Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки?
Ответ:
Решение:
Во время опроса 76 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых 10 опрошенных по крайней мере 3 указали один и тот же фильм. При каком наибольшем $M$ можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся $M$ человек, указавших один и тот же фильм?
Ответ:
Решение:
В классе, состоящем из 20 учащихся, учитель раздал каждому свой сборник, содержащий ровно 100 задач. Каждый учащийся решил из этого сборника не менее $n$ задач, а Петя — больше, чем Вася. Для какого наименьшего значения $n$ при этом условии обязательно найдётся задача, которую решило не менее половины класса?
Ответ:
Решение:
Каждая точка плоскости раскрашена в один из трёх цветов. Обязательно ли найдётся треугольник площади $1$, все вершины которого имеют одинаковый цвет?
Ответ:
Решение:
В течение дня выставку посетили по одному разу ровно 1000 человек, причём в любой момент на ней находилось менее 38 посетителей. Какое наибольшее количество человек, не встречавшихся (попарно) на выставке друг с другом, можно при этом гарантированно выбрать из всех посетителей?
Ответ:
Решение:
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали $1$ очко за победу, $\frac12$ — за ничью и $0$ — за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по $5$ шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
а) по $5$ шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
Ответ:
Решение:
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Ответ:
Решение:
От станции Узловая до посёлка Дальний по расписанию ходит автобус. На конечной остановке в Дальнем автобус разворачивается и немедленно отправляется в обратный путь, который занимает столько же времени, сколько дорога от станции до посёлка.
На маршруте работает наименьшее число водителей, при котором можно обеспечить режим труда и отдыха: если рейс туда-обратно занимает больше четырёх часов, то между рейсами водитель должен отдохнуть не менее часа.
Расписание движения автобуса по маршруту ст. Узловая — п. Дальний
Иван Петрович поехал со ст. Узловая в Дальний и вернулся в тот же день последним рейсом автобуса. Он заметил, что на обратном пути автобус вёл тот же водитель, что и на пути в посёлок. Сколько водителей работает на маршруте и сколько было времени, когда Иван Петрович уезжал со станции в посёлок?
На маршруте работает наименьшее число водителей, при котором можно обеспечить режим труда и отдыха: если рейс туда-обратно занимает больше четырёх часов, то между рейсами водитель должен отдохнуть не менее часа.
Расписание движения автобуса по маршруту ст. Узловая — п. Дальний
| Отправление | Прибытие |
|---|---|
| 7:20 | 10:00 |
| 10:40 | 13:20 |
| 12:00 | 14:40 |
| 13:05 | 15:45 |
| 16:10 | 18:50 |
| 17:30 | 20:10 |
Ответ:
Решение:
В колоде 36 игральных карт четырех мастей от шестерки до туза. Володя и Маша тянут по одной карте. Сначала тянет карту Володя, а затем Маша. Маша выиграет, если она вытащит карту старше, чем карта Володи. Иначе выигрывает Володя.
а) Докажите, что жребий несправедливый.
б) Как сделать его справедливым?
а) Докажите, что жребий несправедливый.
б) Как сделать его справедливым?
Ответ:
Решение:
Лотерея выгодна устроителю лотереи, если математическое ожидание выигрыша меньше, чем цена билета. Участник лотереи считает, что лотерея ему выгодна, если, купив один билет, он с вероятностью больше, чем 0,5 выиграет сумму, которая больше цены билета.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 19 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 19 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.
Ответ:
Решение:
У Аси и Васи есть 3 монеты. На разных сторонах одной монеты изображены ножницы и бумага, на сторонах другой монеты — камень и ножницы, на сторонах третьей — бумага и камень. Ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень и камень побеждает ножницы. Сначала Ася выбирает себе монетку, потом Вася, потом они бросают свои монетки и смотрят, кто выиграл (если выпало одно и то же, то — ничья). Так они делают много раз. Есть ли возможность у Васи выбирать монету так, чтобы вероятность его выигрыша была выше, чем у Аси?
Ответ:
Решение:
Федя предложил Васе сыграть в игру: нужно бросить две игральные кости и перемножить выпавшие числа.
— Самое большое произведение 36, а самое маленькое 1, — заявил Федя. — Давай так: если произведение получилось от 1 до 18, то я выиграл, а если от 19 до 36, то выиграл ты.
а) Соглашаться ли Васе на такие условия игры?
б) Как изменить границу, чтобы игра стала справедливой?
— Самое большое произведение 36, а самое маленькое 1, — заявил Федя. — Давай так: если произведение получилось от 1 до 18, то я выиграл, а если от 19 до 36, то выиграл ты.
а) Соглашаться ли Васе на такие условия игры?
б) Как изменить границу, чтобы игра стала справедливой?
Ответ:
Решение:
А. и Б. играют в орлянку, делая по два броска за один кон: сначала А., за ним Б., затем следуют ещё два броска и так далее. Если при броске выпадает орёл, то бросавший забирает у второго игрока один пряник. Б. заметил, что монета несимметричная — вероятность выпадения орла чуть выше, чем 0,5. Тогда Б. предложил изменить правила. Новые правила звучат так:
- А. забирает пряник у Б., если при броске А. выпадает орёл;
- Б. забирает пряник у А., если при броске Б. выпадет та же сторона монеты, какая перед этим выпала у А.
Ответ:
Решение:
Тридцать шесть игроков играют в игру: из колоды, в которой 36 игральных карт, игроки по очереди выбирают по случайной карте. Если игроку попался туз бубен, то игрок выиграл; если же попалась другая карта, игрок возвращает её в колоду, и случайную карту тянет следующий игрок. Так они тянут карты по кругу: сначала первый, затем второй и т.д. Если на первом круге никому не попался туз бубен, игроки в том же порядке тянут карты по второму кругу. Это продолжается до тех пор, пока кто-то из них не вытянет туза бубен.
а) Честная ли это игра, то есть равны ли у игроков вероятности выигрыша?
б) Найдите хотя бы приближённо вероятность выигрыша первого игрока.
а) Честная ли это игра, то есть равны ли у игроков вероятности выигрыша?
б) Найдите хотя бы приближённо вероятность выигрыша первого игрока.
Ответ:
Решение:
У Вали в шкатулке три синие бусины и одна красная. Они с Колей бросают жребий: каждый по очереди не глядя вынимает бусину. Выигрывает тот, кому досталась красная. Начинает Валя, так как это ее бусины, но зато Коля может выбрать одно из дополнительных правил.
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?
Ответ:
Решение:
Петя играет в компьютерную игру «Куча камней». Сначала в куче 16 камней. Игроки по очереди берут из кучи 1, 2, 3 или 4 камня. Выигрывает тот, кто заберет последний камень. Петя играет впервые и поэтому каждый раз берет случайное число камней, при этом он не нарушает правила игры. Компьютер играет по следующему алгоритму: на каждом ходу он берет столько камней, чтобы оказаться в наиболее выгодном положении. Игру начинает всегда Петя. С какой вероятностью Петя выиграет?
Ответ:
Решение:
Тридцать шесть игроков играют в игру: из карточной колоды, в которой 36 карт, они по очереди выбирают по случайной карте. Если игроку попался туз бубен, то игрок выиграл; если же попалась другая карта, игрок возвращает её в колоду, и карту тянет следующий игрок. Так они тянут карты по кругу: сначала первый, затем второй и т. д. Если на первом круге никому не попался туз бубен, игроки в том же порядке тянут карты по второму кругу. Это продолжается до тех пор, пока кто-то из них не вытянет туза бубен.
Предположим, что перед началом игры игроки сделали ставки, и выигравший забирает их все. Как должны относиться ставки игроков, чтобы игра стала безобидной, то есть математические ожидания выигрыша у всех игроков оказались равны между собой (то есть равны нулю с учётом внесенной суммы)?
Предположим, что перед началом игры игроки сделали ставки, и выигравший забирает их все. Как должны относиться ставки игроков, чтобы игра стала безобидной, то есть математические ожидания выигрыша у всех игроков оказались равны между собой (то есть равны нулю с учётом внесенной суммы)?
Ответ:
Решение:
Валя и Коля пошли в тир. Коля предложил:
— Валь, давай стрелять по очереди. Кто первый попадет в мишень, тот и победил.
— Это нечестно! Ты стреляешь лучше. Помнишь, Рассеянный Ученый совершенно точно подсчитал, что на одно попадание ты расходуешь в среднем на один выстрел меньше, чем я.
— Хорошо, — согласился Коля. — Стреляй первой. Тогда у нас будут равные шансы на победу.
Валя немного подумала и сказала:
— Все равно нечестно. Давай лучше возьмем два ружья и будем стрелять одновременно, но по двум разным мишеням. Тогда может случиться ничья, а значит, вероятность того, что я хотя бы не проиграю, больше, чем при стрельбе по очереди.
а) Прав ли Коля, утверждая, что если они будут стрелять по очереди, но Валя будет стрелять первой, то шансы у них равны?
б) Права ли Валя, утверждая, что если стрелять по двум мишеням одновременно, то вероятность не проиграть у нее больше, чем вероятность победить при стрельбе по очереди?
— Валь, давай стрелять по очереди. Кто первый попадет в мишень, тот и победил.
— Это нечестно! Ты стреляешь лучше. Помнишь, Рассеянный Ученый совершенно точно подсчитал, что на одно попадание ты расходуешь в среднем на один выстрел меньше, чем я.
— Хорошо, — согласился Коля. — Стреляй первой. Тогда у нас будут равные шансы на победу.
Валя немного подумала и сказала:
— Все равно нечестно. Давай лучше возьмем два ружья и будем стрелять одновременно, но по двум разным мишеням. Тогда может случиться ничья, а значит, вероятность того, что я хотя бы не проиграю, больше, чем при стрельбе по очереди.
а) Прав ли Коля, утверждая, что если они будут стрелять по очереди, но Валя будет стрелять первой, то шансы у них равны?
б) Права ли Валя, утверждая, что если стрелять по двум мишеням одновременно, то вероятность не проиграть у нее больше, чем вероятность победить при стрельбе по очереди?
Ответ:
Решение:
В Анчурии готовятся президентские выборы, в которых хочет победить президент Мирафлорес. Ровно половина многочисленных избирателей поддерживает Мирафлореса, а другая половина — Дика Малони. Мирафлорес тоже является избирателем. По закону он имеет право поделить всех избирателей на два избирательных округа по своему усмотрению. В каждом из округов голосование проводится следующим образом: каждый избиратель отмечает на бюллетене имя своего кандидата; все бюллетени помещаются в урну. Затем из урны достаётся один случайный бюллетень, и тот, чьё имя на нём отмечено, победит в этом округе. Кандидат побеждает на выборах, только если победит в обоих округах. Если победитель не выявился, назначается следующий тур голосования по тем же правилам. Как Мирафлорес должен поделить избирателей, чтобы максимизировать вероятность своей победы на первом туре?
Ответ:
Решение: