Можно ли расставить числа $2016, 2017, \ldots, 2024$ на указанные позиции (см. рисунок) так, чтобы сумма чисел, стоящих на каждой стороне треугольника, была одинаковой?
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить числа $2020, 2021, \ldots, 2028$ на указанные позиции (см. рисунок) так, чтобы сумма чисел, стоящих на каждой стороне треугольника, была одинаковой?
Ответ:
Решение:
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4-3)\times(2+5)+1$. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).
Ответ:
Решение:
Можно ли так расставить знаки «$+$» и «$-$» на месте звездочек, так, чтобы получилось верное равенство $*\,1^2*2^2*\ldots*2020^2=2020$?
Ответ:
Решение:
На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Ответ:
Решение:
Найдите количество десятибуквенных «слов», составленных из букв А, Б, В (под «словом» понимается любая последовательность подряд идущих букв) таких, что в них есть не более трёх букв Б.
Ответ:
Решение:
На урок физкультуры пришли $8$ учеников. Сколькими способами учитель может расставить их в шеренгу так, чтобы Петя стоял левее Васи, а Вася — левее Толи? Между этими троими ребятами могут стоять и другие ученики.
Ответ:
Решение:
Вася придумывает 4-значный пароль для кодового замка. Он не любит цифру 2, поэтому не использует её. Кроме того он не любит, когда две одинаковые цифры стоят рядом. А ещё он хочет, чтобы первая цифра совпадала с последней. Сколько вариантов надо перебрать, чтобы гарантированно угадать Васин пароль?
Ответ:
Решение:
Петя придумывает пароль для своего смартфона. Пароль состоит из 4 десятичных цифр. Петя хочет, чтобы пароль не содержал цифру 7, при этом в пароле должны быть хотя бы две (или более) одинаковые цифры. Сколькими способами Петя может это сделать?
Ответ:
Решение:
В детской игре шарик может двигаться по желобкам, которые являются ребрами квадратов со стороной 1 дм, и которые вместе составляют прямоугольную сеть размера 3 дм на 4 дм (см. рис.). Какова длина кратчайшего пути шарика из точки $A$ в точку $B$? Сколько существует различных путей этой минимальной длины?
Ответ:
Решение:
Сколько существует способов раскрасить вершины правильного пятиугольника в восемь цветов, если раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно выложить в ряд три красных, четыре синих и пять зелёных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?
Ответ:
Решение:
Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника $ABC$, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины $A$ обратно в вершину $A$ за $9$ прыжков?
Ответ:
Решение:
У Миши есть пять банок с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из $7$ досок, так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски не менее чем трёх цветов?
Ответ:
Решение:
У Миши есть четыре банки с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из $8$ досок, так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски не менее чем трёх цветов?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами в прямоугольнике $5\times15$ можно разместить две кости домино $1\times2$, каждая из которых покрашена в два цвета — чёрный и белый?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки: на одной — чёрная часть кости, а на другой — белая.
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки: на одной — чёрная часть кости, а на другой — белая.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами в полосе $2\times30$ можно разместить две кости домино $1\times2$?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Ответ:
Решение:
Дана клетчатая прямоугольная доска размером $10\times 12$. За один ход фишку можно передвинуть либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх. Сколькими способами можно переместить фишку из левого нижнего угла доски (клетка с координатами $(1;1)$) в правый верхний угол (клетка с координатами $(10;12)$), если в процессе движения нельзя занимать клетку с координатами $(3;9)$?
Ответ:
Решение:
Сколько есть способов расставить 6 книг в шкафу с 10 полками так, чтобы 4 заданные книги из этих 6 стояли на одной полке рядом друг с другом (в любом порядке), если расстановки, отличающиеся порядком книг на полке, считаются различными?
Ответ:
Решение:
В классе $3$ ряда по $6$ парт в каждом ряду (за партой может сидеть только один ученик). $18$ школьников выбирают себе места: четверо хотят сидеть на первом ряду, по трое хотят занять места на втором и третьем рядах, а остальным безразлично, где сидеть. Сколькими способами можно рассадить школьников за парты с учётом их пожеланий?
Ответ:
Решение: