Натуральные числа, у которых сумма цифр равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на $111$-м месте?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа, у которых сумма цифр равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на $121$-м месте?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа, у которых сумма цифр равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на $122$-м месте?
Ответ:
Решение:
Число $72350$ написали семь раз подряд, при этом получилось $35$-значное число \[ 72350723507235072350723507235072350. \] Из этого $35$-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания $33$-значное число делилось на $15$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Число $58964$ написали $8$ раз подряд, при этом получилось $40$-значное число \[ 5896458964589645896458964589645896458964. \] Из этого $40$-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания $38$-значное число делилось на $6$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Есть восемь карточек с цифрами $0$, $1$, $2$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$. Сколько существует различных семизначных чисел, делящихся на $15$, которые можно сложить из этих карточек?
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(a,b)$ таких, что $1\leqslant a\leqslant 70$, $1\leqslant b\leqslant 50$, и при этом площадь $S$ фигуры, заданной системой неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\geqslant 1,\\ x\leqslant a,\\ y\leqslant b, \end{cases} \] такова, что число $2S$ кратно $5$.
Ответ:
Решение:
Из карточек, на которых написаны цифры 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4 составляются натуральные числа, делящиеся на 36. Сколькими способами это можно сделать? (некоторые карточки при составлении чисел можно не использовать, число не может начинаться на 0).
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющихся степенями числа 7 с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $343^{36}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным $1$) с целыми коэффициентами таких, что они имеют хотя бы один корень, все их корни являются степенями числа $7$ с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $49^{68}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющихся степенями числа 3 с натуральными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $27^{45}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 1400. Ответ необходимо представить в виде целого числа.
Ответ:
Решение:
Сколько существует четырёхзначных чисел, обладающих следующими свойствами: все цифры числа чётные; число кратно четырём; если зачеркнуть последнюю цифру, то полученное трёхзначное число не кратно четырём?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, сумма цифр каждого из которых равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на 125-м месте?
Ответ:
Решение:
Назовем число «новогодним», если в нем все цифры различные, оно не начинается с цифры 2 и при вычеркивании некоторого числа его цифр можно получить 2018. Сколько существует различных семизначных «новогодних» чисел?
Ответ:
Решение:
Андрею нравятся все числа, не делящиеся на $3$, а Тане нравятся все числа, в которых нет цифр, делящихся на $3$.\ а) Сколько четырёхзначных чисел нравятся и Андрею, и Тане?\ б) Найдите общую сумму цифр всех таких четырёхзначных чисел.
Ответ:
Решение:
У Васи есть семь книг по математике, а у Вани — девять. Все $16$ книг разные. Сколькими способами они смогут обменяться тремя книгами (то есть дать три книги в обмен на три книги)?
Ответ:
Решение:
$26$ солдат выстроены в одну шеренгу. Сколько существует различных способов выбрать $11$ из них так, что никакие двое из них не стоят рядом?
Ответ:
Решение:
$19$ депутатов Городского Собрания выбирают Председателя из $5$ кандидатов. Каждый голосует ровно за одного из них. После голосования составляется протокол заседания, в котором указывается лишь количество голосов за каждого кандидата (без указания, кто за кого проголосовал). Сколько различных протоколов может получиться?
Ответ:
Решение:
В сумме $32+33+34+\ldots+100$ нужно вычеркнуть несколько слагаемых так, чтобы получившаяся сумма стала равна 4455. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение: