Ответ:
Решение:
Если на доске записано число $A$, то к нему можно прибавить любой его делитель, отличный от 1 и самого $A$. Можно ли из $A=4$ получить 1234321?
Ответ:
Решение:
На координатной прямой отмечено несколько точек (больше двух). Каждая точка, кроме двух крайних, находится ровно посередине между какими-то двумя отмеченными. Могут ли все отрезки, внутри которых нет отмеченных точек, иметь различные длины?
Ответ:
Решение:
В трёх клетках таблицы $3\times3$ стоят числа (см. рисунок). Требуется заполнить числами остальные клетки так, чтобы во всех строках, столбцах и главных диагоналях суммы чисел оказались равными. Докажите, что это можно сделать единственным способом, и заполните таблицу.
| 1 | 5 | |
| 3 |
Ответ:
Решение:
Незнайка измерил длины сторон и диагоналей своего четырёхугольного земельного участка, записал в блокнот результаты шести измерений и тут же забыл, какие числа относились к диагоналям, а какие — к сторонам. Потом он заметил, что среди написанных чисел есть четыре одинаковых, а два оставшихся числа тоже равны между собой. Незнайка обрадовался и сделал вывод, что его участок — квадрат. Обязательно ли это так? Если ответ «да», то утверждение нужно доказать, если ответ «нет» — привести опровергающий пример и его обосновать.
Ответ:
Решение:
Разбейте какой-нибудь клетчатый квадрат на клетчатые квадратики так, чтобы не все квадратики были одинаковы, но квадратиков каждого размера было одно и то же количество.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости построены четыре прямые, уравнения которых имеют вид $y=kx+b$. Все коэффициенты и свободные члены — различные натуральные числа от 1 до 8. Могут ли эти 4 прямые разделить плоскость ровно на 8 частей?
Ответ:
Решение:
Нарисуйте шесть лучей так, чтобы они пересекались ровно в четырех точках, по три луча в каждой точке. Отметьте начала лучей жирными точками.
Ответ:
Решение:
На доске написано выражение $\cos x$. Разрешается сложить или перемножить несколько написанных на доске выражений (одно выражение может использоваться несколько раз) и дописать полученное новое выражение на доску. Можно ли за несколько действий получить выражение, которое при $x=\pi$ принимает значение 0?
Ответ:
Решение:
На доске написаны функции: $x+1$, $x^2+1$, $x^3+1$, $x^4+1$. Разрешается дописывать на доску новые функции, получаемые из написанных на доске с помощью операций вычитания и умножения. Покажите, как получить ненулевую функцию, которая при положительных значениях аргумента принимает неотрицательные значения, а при отрицательных значениях аргумента — неположительные значения.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция с основаниями 4 и 12 и высотой 4. Можно ли разрезать её на три части и сложить из этих частей квадрат?
Ответ:
Решение:
Изначально на столе лежали 10 куч конфет, в которых было 1, 2, $\ldots$, 10 конфет соответственно. Малыш решил перераспределить конфеты. На каждой нечётной минуте он выбирает одну из куч и делит её на две кучи, в каждой из которых хотя бы по одной конфете. На каждой чётной минуте он выбирает две кучи и объединяет их в одну (таким образом, первым действием он делит кучу на две). Может ли в некоторый момент оказаться, что все кучи на столе содержат одно и то же количество конфет?
Ответ:
Решение:
В кружочки на рисунке расставлены натуральные числа 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (каждое число — в одном кружочке) так, что все три суммы трёх чисел вдоль каждой линии равны. Какое число может оказаться в кружочке $X$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Числа 13, 14, 15, $\ldots$, 25 покрашены в пять цветов: одно чёрное число, три красных, три синих, три жёлтых, три зелёных.
Известно, что:
2. Найдите три зелёных числа.
Известно, что:
- все четыре суммы трёх одноцветных чисел равны;
- число 13 — красное, 15 — жёлтое, 23 — синее.
2. Найдите три зелёных числа.
Ответ:
Решение:
В таблице $3\times3$ расставлены действительные числа. Оказалось, что произведение чисел в любой строке и любом столбце равно 10, а произведение чисел в любом квадрате $2\times2$ равно 3. Найдите число, стоящее в центральной клетке.
Ответ:
Решение:
У учителя есть 100 гирь массами 1 г, 2 г, …, 100 г. Он хочет раздать Пете и Васе по 30 гирь так, чтобы выполнялось следующее условие:
- никакие 11 Петиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Васиными гирями;
- никакие 11 Васиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Петиными гирями.
Ответ:
Решение:
Существуют ли четыре попарно различных положительных числа $a$, $b$, $c$, $d$, при которых все четыре числа \[ \frac{a+b}{a-b},\quad \frac{b+c}{b-c},\quad \frac{c+d}{c-d},\quad \frac{d+a}{d-a} \] являются целыми?
Ответ:
Решение:
Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся еще ровно одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным.
Ответ:
Решение:
Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) буквами $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ так, чтобы число $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{d}{e+f}$ было натуральным.
Ответ:
Решение:
Операция удвоения цифры натурального числа состоит в умножении этой цифры на 2 (если это произведение оказывается двузначным, то цифра в следующем разряде числа увеличивается на 1, как при сложении «в столбик»). Например, из числа 9817 удвоениями цифр 7, 1, 8 и 9 можно получить числа 9824, 9827, 10617 и 18817 соответственно. Можно ли из числа $22\ldots22$ (20 двоек) несколькими такими операциями получить число $22\ldots22$ (21 двойка)?
Ответ:
Решение: