Каждую клетку таблицы $3\times3$ раскрашивают в один из трёх цветов так, что клетки, имеющие общую сторону, имеют разный цвет. Среди всех возможных таких раскрасок найдите долю тех, в которых использовано ровно два цвета.
Ответ:
Решение:
Петя и Ваня составили из кубиков столбики по четыре кубика в каждом, но действовали по разным правилам: у Пети в каждом столбике есть кубики красного, жёлтого, зелёного и синего цветов, а у Вани — только красного, жёлтого и зелёного цветов. Оказалось, что все составленные столбики между собой различны, причём ни Петя, ни Ваня, следуя своим правилам, новых столбиков составить не могут. Кто из мальчиков составил больше столбиков и во сколько раз?
Ответ:
Решение:
Найдите количество способов расставить $150$ монет попарно различных номиналов в ряд так, чтобы нашлось не более двух пар монет (не обязательно соседних), для которых монета, стоящая правее, имеет больший номинал.
Ответ:
Решение:
В классе для занятий иностранным языком стоят четыре ряда парт, в каждом из которых по три парты, расположенных друг за другом. Парта рассчитана на одного человека. Школьник хорошо видит доску в любом из следующих случаев (и только в них):
- он сидит на первой парте в ряду,
- ближайшая парта перед ним пуста,
- за ближайшей партой перед ним сидит ученик меньшего роста.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами в прямоугольнике $60\times 70$ можно разместить две кости домино $1\times 2$?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Ответ:
Решение:
Играя, девочка Маша нашла $6$ папиных новых носков одинаковой формы (правый не отличается от левого) трех цветов: $2$ белых, $2$ серых и $2$ черных, при этом носки одинакового цвета визуально неразличимы. Маша решила их надеть по три штуки на каждую ногу. Сколькими способами она это может сделать, если важно, какой носок надет раньше, какой позже и на какую ногу, а также носки можно выворачивать наизнанку?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами Аня, Боря, Вова, Гена и Даша могут занять места в ряде из 10 сидений, чтобы Аня и Боря не оказались соседями?
Ответ:
Решение:
Имеется шесть карточек с буквами С, О, Б, А, К, И. Сколькими способами можно расположить все карточки в ряд так, чтобы не было трех согласных подряд и не было трех гласных подряд?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске, состоящей из $10\times10$ клеток, двух коней — белого и черного так, чтобы они угрожали друг другу? (Конь ходит буквой «Г», т. е. он может пойти на одно из полей, ближайших к тому, на котором он стоит, но не на той же самой горизонтали, вертикали или диагонали.)
Ответ:
Решение:
Бросается стандартная игральная кость (кубик, от 1 до 6 очков на грани, сумма очков на противоположных гранях равна семи). После броска записываем результат, перекатываем кубик случайным образом на одну из соседних граней, записываем новый результат, потом снова случайно перекатываем кубик на одну из соседних граней, и записываем третий результат. Сколько разных возрастающих последовательностей очков мы можем получить?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно прочитать слово «РОТОР», двигаясь по буквам рисунка, если возвращаться по пути к пройденным буквам нельзя, а прочтения, отличающиеся только направлением, считаются одинаковыми?\[\begin{array}{l}\text{Р О Т О Р}\\\text{О Т О Р}\\\text{Т О Р}\\\text{О Р}\\\text{Р}\end{array}\]
Ответ:
Решение:
В некоторой стране алфавит состоит из трёх букв: «М», «Г» и «У». Словом называется любая состоящая из этих букв конечная последовательность, в которой две согласные не могут стоять рядом и две гласные не могут стоять рядом. Сколько в этой стране состоящих из 200 букв слов, которые содержат каждую из трёх букв хотя бы по разу?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно добраться от точки $A$ до точки $B$ по линиям сетки, расположенным внутри или на границе представленной на рисунке фигуры, если разрешено двигаться только вправо или вверх?
Ответ:
Решение:
В турнире у волейбольной команды было $10$ побед и $6$ поражений, причём все её победы были получены тремя «сериями» (серия — это одна или несколько последовательных побед, между которыми не было ни одного поражения). Сколькими способами это могло случиться? Под способом понимается последовательностью побед и поражений. Ничьих в волейболе не бывает.
Ответ:
Решение:
В классе $3$ ряда по $6$ парт в каждом ряду (за партой может сидеть только один ученик). $18$ школьников выбирают себе места: четверо хотят сидеть на первом ряду, по трое хотят занять места на втором и третьем рядах, а остальным безразлично, где сидеть. Сколькими способами можно рассадить школьников за парты с учётом их пожеланий?
Ответ:
Решение:
Сколько есть способов расставить 6 книг в шкафу с 10 полками так, чтобы 4 заданные книги из этих 6 стояли на одной полке рядом друг с другом (в любом порядке), если расстановки, отличающиеся порядком книг на полке, считаются различными?
Ответ:
Решение:
Дана клетчатая прямоугольная доска размером $10\times 12$. За один ход фишку можно передвинуть либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх. Сколькими способами можно переместить фишку из левого нижнего угла доски (клетка с координатами $(1;1)$) в правый верхний угол (клетка с координатами $(10;12)$), если в процессе движения нельзя занимать клетку с координатами $(3;9)$?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами в полосе $2\times30$ можно разместить две кости домино $1\times2$?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами в прямоугольнике $5\times15$ можно разместить две кости домино $1\times2$, каждая из которых покрашена в два цвета — чёрный и белый?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки: на одной — чёрная часть кости, а на другой — белая.
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки: на одной — чёрная часть кости, а на другой — белая.
Ответ:
Решение:
У Миши есть четыре банки с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из $8$ досок, так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски не менее чем трёх цветов?
Ответ:
Решение: