На доске выписано $10n$ последовательных натуральных чисел ($n\in\mathbb N$). Из них выбираются три попарно различных числа, среди которых ровно одно кратно 2 и ровно одно кратно 5. Известно, что можно составить ровно 5112 таких троек. Чему равно $n$?
Ответ:
Решение:
В научной лаборатории составляется план запуска решения задач на кластере. За $100$ дней требуется сделать $10$ запусков, а после каждого запуска, кроме последнего, кластер загружен только данной задачей в течение $7$ дней, включая день запуска. При последнем запуске требуется обработать результаты всех предыдущих запусков, на что требуется $8$ дней работы кластера, включая день последнего запуска. Сколькими способами сотрудники лаборатории могут выбрать дни запусков расчётов? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение:
Рассматривают все непустые подмножества множества $T=\{1;2;\ldots;100\}$. Для каждого из них вычисляют среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Пусть $A$ — среднее арифметическое всех средних арифметических, вычисленных для подмножеств, содержащих число $40$, а $B$ — аналогичная величина для всех подмножеств, содержащих число $61$. Найдите сумму $A+B$.
Ответ:
Решение:
Петя записал на доске множество $A$ всех натуральных чисел от $1$ до $100$. Затем Вася для всех непустых подмножеств множества $A$ нашёл средние арифметические входящих в них чисел, после чего сообщил Пете число $x$ — среднее арифметическое всех найденных средних арифметических. Затем Петя заменил в своём множестве $A$ число $10$ на число $1000$, а Вася пересчитал ту же величину $x$ для нового множества. На сколько увеличилось значение $x$?
Ответ:
Решение:
Спортсмен планирует свой режим тренировок на два месяца. В течение $60$ дней ему необходимо провести $9$ тренировок, причём после каждой тренировки, кроме последней, должны обязательно идти три дня перерыва, не включающие день тренировки. Сколькими способами он может составить себе расписание? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение:
Сколькими способами из натуральных чисел от $2\,002$ до $2\,025$ можно выбрать $6$ чисел так, чтобы среди выбранных чисел нашлось $3$ числа, дающих одинаковые остатки от деления на $8$?
Ответ:
Решение:
В «Драконьем покере» в колоде четыре масти. Туз приносит 1 очко, валет — 2 очка, двойка — $2^2$, тройка — $2^3$, …, десятка — $2^{10}=1024$ очка. Короли и дамы отсутствуют. Можно выбирать из колоды любое количество карт. Сколькими способами можно набрать 2018 очков?
Ответ:
Решение:
На доске выписано $(n-1)n$ выражений: $x_1-x_2$, $x_1-x_3$, $\ldots$, $x_1-x_n$, $x_2-x_1$, $x_2-x_3$, $\ldots$, $x_2-x_n$, $\ldots$, $x_n-x_{n-1}$, где $n\geqslant 3$. Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо $(x_1-x_2)+(x_2-x_3)$ Лёша запишет $x_1-x_3$, а вместо $(x_1-x_2)+(x_2-x_1)$ он запишет $0$). Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?
Ответ:
Решение:
Рассмотрим двоичную последовательность, то есть последовательность нулей и единиц. Назовем $1,k-1$-словом фрагмент этой последовательности вида $1\underbrace{00\ldots0}_{k-1}$, за которым непосредственно следует единица или конец последовательности.
Пример. В последовательности $01000\underline{100}101\underline{100}$ ровно два $1, 2$-слова. Они подчеркнуты.
Докажите, что во всех бинарных последовательностях длины $n$, содержащих ровно $m$ единиц, общее количество $1,k-1$-слов равно $m\cdot C_{n-k}^{m-1}$ $(k\leqslant n)$.
Пример. В последовательности $01000\underline{100}101\underline{100}$ ровно два $1, 2$-слова. Они подчеркнуты.
Докажите, что во всех бинарных последовательностях длины $n$, содержащих ровно $m$ единиц, общее количество $1,k-1$-слов равно $m\cdot C_{n-k}^{m-1}$ $(k\leqslant n)$.
Ответ:
Решение:
На рисунке справа изображена прямоугольная сетка $4\times 7$. Сколько всего существует прямоугольников, у которых вершины расположены в узлах сетки, а стороны лежат на линиях сетки? Один такой прямоугольник показан для примера.
Ответ:
Решение:
На рисунке справа изображена прямоугольная сетка $5\times 6$. Сколько всего существует прямоугольников, у которых вершины расположены в узлах сетки, а стороны лежат на линиях сетки? Один такой прямоугольник показан для примера.
Ответ:
Решение:
Пусть натуральные числа $k$ и $n$ взаимно просты, причём $n\geqslant 5$ и $k\lt n/2$. Правильной $(n;k)$-звездой назовём замкнутую ломаную, которая получится, если в правильном $n$-угольнике каждые $k$ последовательных сторон заменить диагональю с теми же концевыми вершинами. Для примера на рисунке показана $(5;2)$-звезда. Эта звезда имеет 5 точек самопересечения — это жирные точки на рисунке. Сколько самопересечений у звезды $(2018;25)$?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных шестизначных чисел, в записи которых ровно две цифры 1, две цифры 0 и две цифры 3?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных семизначных чисел, в записи которых ровно две цифры 7, две цифры 0 и три цифры 9?
Ответ:
Решение:
Квадрат разбит на треугольники (см. рисунок). Сколько существует способов закрасить ровно треть квадрата? Маленькие треугольники нельзя красить частично.
Ответ:
Решение:
Лиза решила вышить себе на футболке узор: шесть точек по кругу, причём каждые две точки соединены отрезком. Каждую точку Лиза вышивает за 1 минуту, а каждый отрезок — ровно за 3 минуты. Сколько минут потребуется Лизе, чтобы вышить весь узор (если она ничего не пропустит и нигде не запутается)?
Ответ:
Решение:
Катя решила вышить себе на свитере узор: пять точек по кругу, причём каждые две точки соединены отрезком. Каждую точку Катя вышивает за 1 минуту, а каждый отрезок — ровно за 4 минуты. Сколько минут потребуется Кате, чтобы вышить весь узор (если она ничего не пропустит и нигде не запутается)?
Ответ:
Решение:
Имеется резинка и стеклянные шарики-бусины: четыре одинаковых красных, две одинаковых синих и две одинаковых зеленых. Нужно все восемь бусин нанизать на резинку последовательно, чтобы получился браслет. Сколько различных браслетов можно составить так, чтобы бусины одного цвета не оказались рядом? (Считайте, что застёжки нет, а узелок на резинке незаметен).
Ответ:
Решение:
Имеется резинка и стеклянные шарики-бусины: шесть одинаковых красных, две одинаковых синих и четыре одинаковых зелёных. Нужно все двенадцать бусин нанизать на резинку последовательно, чтобы получился браслет. Сколько различных браслетов можно составить так, чтобы бусины одного цвета не оказались рядом? (Считайте, что застёжки нет, а узелок на резинке незаметен).
Ответ:
Решение:
У плиточника $n$ одинаковых плиток размером $1\times 2$ фута. Он должен выложить дорожку шириной 2 фута и длиной $n$ футов. Докажите, что количество различных способов укладки дорожки равно $(n+1)$-му числу Фибоначчи. Способы считаются различными, если они отличаются порядком укладки плиток вдоль и поперёк дорожки; на рисунке показан один из возможных способов выложить дорожку длиной 5 футов.
Два первых числа Фибоначчи равны единице: $f_1=1$, $f_2=1$, а далее каждое число равно сумме двух предыдущих: $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$.
Два первых числа Фибоначчи равны единице: $f_1=1$, $f_2=1$, а далее каждое число равно сумме двух предыдущих: $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$.
Ответ:
Решение: