На столе лежат 100 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 297, 300$ (на каждой карточке ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 5?
Ответ:
Решение:
Есть 306 различных карточек с числами $3, 19, 3^2, 19^2, \ldots, 3^{153}, 19^{153}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было квадратом целого числа?
Ответ:
Решение:
У Васи есть карточки с числами $2000, 2001, \ldots, 2051, 2052$ (на каждой карточке записано ровно одно число; есть ровно одна карточка с каждым из указанных чисел). Сколькими способами он может выбрать $4$ карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных делилась на $3$?
Ответ:
Решение:
В кондитерской продаётся 8 видов пирожных, 8 видов конфет, 8 видов булочек и 8 видов печенья. Сколькими способами можно купить 6 различных десертов в этой кондитерской так, чтобы среди них обязательно было хотя бы по одному пирожному, конфете, булочке и печенью?
Ответ:
Решение:
На доске написаны подряд идущие натуральные числа от $1$ до $301$ (каждое из них ровно один раз). Сколькими способами можно стереть три из написанных чисел так, чтобы остаток от деления суммы всех чисел на доске на $3$ после этого не изменился?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами из натуральных чисел от $1$ до $100$ можно выбрать три числа так, чтобы одно из них равнялось среднему арифметическому двух оставшихся?
Ответ:
Решение:
Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 302 три различных числа так, чтобы их сумма делилась на 3?
Ответ:
Решение:
Есть $300$ карточек с числами от $1$ до $300$ (на каждой карточке написано ровно одно число, числа на карточках попарно различны). Сколькими способами можно выбрать три карточки, чтобы сумма чисел на них была кратна $3$?
Ответ:
Решение:
Вася написал на доске выражение $31+32+33+\ldots+100$, после чего стёр из него несколько слагаемых (при необходимости вместе с идущими перед ними знаками). Значение получившегося после вычёркивания чисел выражения оказалось равно $4489$. Сколькими способами Вася мог стереть числа с доски?
Ответ:
Решение:
Рассматривают все непустые подмножества множества $\{1;2;\ldots;150\}$. Для каждого из них среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Найдите среднее арифметическое всех этих средних арифметических.
Ответ:
Решение:
Болельщики должны выбрать 6 лучших хоккеистов чемпионата: одного вратаря, двух защитников и трех нападающих. Среди претендентов: 3 вратаря, 5 защитников, 6 нападающих и 3 «универсала». «Универсал» — игрок, хороший в разных ролях, который поэтому может быть выбран как в качестве защитника, так в качестве нападающего (но не вратаря). Сколько существует способов выбрать эту шестерку? Требуется получить числовое значение.
Ответ:
Решение:
Тринадцать миллионеров приехали на экономический форум и поселились в отеле «Super Luxury+». В отеле есть номера трёх различных типов: 6-звёздочные, 7-звёздочные, и 8-звёздочные. Надо расселить миллионеров, причём так, чтобы использовать все три типа номеров (т. е. хотя бы одного человека поселить в 6-звёздочный номер, хотя бы одного — в 7-звёздочный и хотя бы одного — в 8-звёздочный). При этом нельзя более богатого миллионера селить в номер с меньшим количеством звёздочек, чем у менее богатого.
Сколькими способами их можно расселить (состояния у всех миллионеров попарно разные)?
Сколькими способами их можно расселить (состояния у всех миллионеров попарно разные)?
Ответ:
Решение:
У Феоктиста Аристарховича есть $14$ китайских ваз династии Цин, причём никакие две не были сделаны в один год. Вазы надо распределить по трём полкам, причём на каждую полку надо поставить хотя бы одну вазу и нельзя более древнюю вазу ставить ниже, чем менее древнюю. Найдите количество таких способов расстановки, если порядок ваз на одной полке не учитывается.
Ответ:
Решение:
Школьный тренер решил наградить $12$ школьников, которые пробежали дистанцию за лучшее время. Каждого из них надо наградить «золотой», «серебряной» или «бронзовой» медалью. Надо использовать все три типа медалей, причём того, кто пришел к финишу раньше, нельзя награждать менее ценной медалью, чем того, кто пришел позже.
Сколькими способами тренер может распределить медали (время у всех бегунов разное)?
Сколькими способами тренер может распределить медали (время у всех бегунов разное)?
Ответ:
Решение:
Есть $7$ красных, $6$ белых, $8$ желтых и $5$ черных шаров, все шары пронумерованы различными числами. Сколькими способами можно выбрать $4$ шара, так, чтобы не все были одного цвета и не все разных цветов? Способы, отличающиеся только порядком шаров, считаем одинаковыми.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно погрузить семь разных изделий (3 по 2 тонны, 4 по 1 тонне) в два фургона грузоподъемностями 6 т и 5 т, если расположение грузов внутри фургона не важно?
Ответ:
Решение:
Имеются 5 тюленей, 4 котика и 3 моржа. Сколькими способами можно выбрать из них 5 животных так, чтобы среди выбранных присутствовали все три вида, но никакой вид не составлял абсолютного большинства?
Ответ:
Решение:
Есть 207 различных карточек с числами $1, 2, 3, 2^2, 3^2, \ldots, 2^{103}, 3^{103}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 3 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было квадратом целого числа, делящегося на 6?
Ответ:
Решение:
У фокусника есть набор из $12^2$ различных карточек. У каждой из карточек одна сторона красная, а другая — синяя; на каждой карточке с обеих сторон написано по одному натуральному числу от 1 до 12. Назовём карточку дублем, если числа на обеих сторонах карточки совпадают. Фокусник хочет вытащить две карточки так, чтобы среди них был хотя бы один дубль, и при этом никакое число не встречалось одновременно на обеих вытянутых карточках. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ:
Решение:
На доску выписаны попарно различные натуральные числа: часть из них чётны, но не делятся на $3$, остальные же делятся на $3$ и при этом нечётны. Оказалось, что выбрать тройку чисел из выписанных на доску так, чтобы среди них оказалось хотя бы одно чётное и хотя бы одно кратное $3$, можно $25$ способами. Сколько было выписано чисел?
Ответ:
Решение: