В данном разделе собраны задачи, при решении которых можно (хотя и не обязательно, и даже не всегда целесообразно) ввести прямоугольную систему координат или выбрать какой-либо векторный базис. Решение задач этого раздела следует начинать с осмысления условия и выбора подходящей системы координат, в которой наиболее просто найти координаты нужных точек и векторов, записать уравнения нужных прямых, алгебраически записать заданные в задаче геометрические отношения.
Точка $A$ на плоскости находится на одинаковом расстоянии от всех точек пересечения двух парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями $y=-3x^2+2$ и $x=-4y^2+2$. Найдите это расстояние.
Ответ:
Решение:
Найдите координаты всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от всех точек пересечения парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями $y=2x^2-1$ и $x=4y^2-2$.
Ответ:
Решение:
Гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $3$ и $4$ является стороной расположенного во вне прямоугольника $ABDE$, вторая сторона которого равна $2$. Биссектриса прямого угла треугольника $ABC$ пересекает сторону $DE$ в точке $M$. В каком отношении точка $M$ делит отрезок $DE$?
Ответ:
Решение:
Отрезок $[A;B]$ длины 5 двигается на координатной плоскости так, что его концы лежат на параболе $y=2x^2$. Точка $M$ — середина отрезка $[A;B]$. Найти минимально возможное значение расстояния точки $M$ до оси абсцисс, а также абсциссу точки $M$, при которой оно достигается.
Ответ:
Решение:
Вокруг цветка в одной плоскости с ним по двум окружностям летают шмель и пчела. Скорость пчелы в полтора раза больше скорости шмеля. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой цветок (общий центр окружностей) находится в точке $O(0;0)$. Пчела двигается по часовой стрелке, а шмель — против. В начальный момент времени пчела и шмель находятся в точках $M_0\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$ и $N_0(2;0)$ соответственно. Определите координаты всех положений шмеля, в которых расстояние между ним и пчелой будет кратчайшим.
Ответ:
Решение:
На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке $O(0;0)$. Муравей двигается по часовой стрелке, а жук — против. В начальный момент времени муравей и жук находятся в точках $M_0\left(-1;\sqrt3\right)$ и $N_0\left(2\sqrt3;2\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, в которых расстояние между ним и муравьём будет кратчайшим.
Ответ:
Решение:
По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке $(0;0)$. Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках $M_0\left(2;2\sqrt7\right)$ и $N_0\left(5;5\sqrt7\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет наибольшим.
Ответ:
Решение:
По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке $(0;0)$. Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках $M_0\left(-2;-2\sqrt7\right)$ и $N_0\left(5;5\sqrt7\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.
Ответ:
Решение:
Даны парабола $y=4x^2$ и прямая $y=x-0{,}5$. Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие — на этой прямой?
Ответ:
Решение:
На параболе $y=x^2$ даны две точки: $A$ с абсциссой $-3$ и $B$ с абсциссой $5$. Точка $C$ лежит на дуге $AB$. Найдите максимальную возможную площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Вне прямоугольного треугольника $ABC$ на его катетах $AC$ и $BC$ построены квадраты $ACDE$ и $BCFG$. Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $DF$ в точке $N$. Найдите длину отрезка $CN$, если длины катетов равны 1 и 4.
Ответ:
Решение:
Для испытания новой модели моторного катера выбран участок берега моря, представленный на карте прямой линией. Вдоль этого участка берега проходит прямая трасса, на которой расположен командный пункт. В $2$ км от него в море по линии, перпендикулярной берегу, на рейде стоит корабль. Моторный катер движется в море так, что расстояние от наблюдателя на корабле до катера в любой момент времени совпадает с расстоянием от катера до движущегося по трассе автомобиля наблюдения. При этом в декартовой системе координат с началом в точке $O$ — командном пункте, осью абсцисс, направленной вдоль трассы по ходу движения автомобиля, и осью ординат, направленной на корабль, абсциссы координат автомобиля и катера в каждый момент времени совпадают.
Укажите координаты катера в этой системе координат через четверть часа с момента начала движения автомобиля от командного пункта, если он двигался все время в одном направлении с постоянной скоростью $40$ км/ч.
Укажите координаты катера в этой системе координат через четверть часа с момента начала движения автомобиля от командного пункта, если он двигался все время в одном направлении с постоянной скоростью $40$ км/ч.
Ответ:
Решение:
Хорда $AB$ параболы $y=x^2$ пересекает ось ординат в точке $C$ и делится ею в отношении $AC:CB=2:1$. Найти абсциссы точек $A$ и $B$, если ордината точки $C$ равна $8$.
Ответ:
Решение:
В параболу $y=0{,}5x^2$ вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси $Ox$. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?
Ответ:
Решение:
В параболу $y=2x^2$ вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси $Ox$. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?
Ответ:
Решение:
Найдите координаты центра и радиус окружности, описанной около четырёхугольника на рисунке, если сторона клетки равна $1$.
Ответ:
Решение:
К окружности, вписанной в квадрат $ABCD$, проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:2$?
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны прямоугольной трапеции $ABCD$ и касается боковой стороны $AD$ в точке $T$. Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $BC$, если основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 9 соответственно.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{24}{\sqrt{61}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
В плоскости равностороннего треугольника через его центр проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.
Ответ:
Решение: