На каждой стороне выпуклого 100-угольника отметили по две точки, делящие эту сторону на три равные части. После этого всё, кроме отмеченных точек, стёрли. Докажите, что по отмеченным точкам можно однозначно восстановить исходный 100-угольник.
Ответ:
Решение:
Назовём многоугольник хорошим, если у него найдётся пара параллельных сторон. Некоторый правильный многоугольник разрезали непересекающимися (по внутренним точкам) диагоналями на несколько многоугольников так, что у всех этих многоугольников одно и то же нечётное количество сторон. Может ли оказаться, что среди этих многоугольников есть хотя бы один хороший?
Ответ:
Решение:
В выпуклом пятиугольнике $PQRST$ угол $PRT$ в два раза меньше, чем угол $QRS$, а все стороны равны. Найдите угол $PRT$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом $n$-угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого $n$-угольника равны $63^\circ$ и $97^\circ$. Какое наибольшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ параллельны, а биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекаются под углом $46^\circ$, как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов $A$ и $B$?
Ответ:
Решение:
Дан правильный пятиугольник $ABCDE$. На стороне $AE$ отмечена точка $K$, на стороне $CD$ — точка $L$. Известно, что $\angle LAE+\angle KCD=108^\circ$, $AK:KE=3:7$. Найдите $CL:AB$.
Правильный пятиугольник — пятиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
Правильный пятиугольник — пятиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
Ответ:
Решение:
Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
Ответ:
Решение:
В правильном семиугольнике провели самые длинные диагонали. Получившуюся семиугольную звёздочку вырезали и раскрасили, будто это ромашка (см. рис.). Потом белые лепестки согнули у основания по пунктирным линиям так, чтобы они накрывали центр. Найдите площадь множества всех точек, которые накрываются всеми лепестками одновременно. В ответе укажите отношение этой площади к площади изначального семиугольника.
Ответ:
Решение:
Последовательность выпуклых четырёхугольников \[P_1Q_1R_1S_1,\quad P_2Q_2R_2S_2,\quad\ldots,\quad P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}\] такова, что вершины четырёхугольника $P_{n+1}Q_{n+1}R_{n+1}S_{n+1}$ являются серединами сторон четырёхугольника $P_nQ_nR_nS_n$ ($n=1,2,\ldots,2011$).
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
Ответ:
Решение:
В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника?
Ответ:
Решение:
Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?
Ответ:
Решение:
Дан такой выпуклый четырёхугольник $ABCD$, что $AB=BC$ и $AD=DC$. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $CD$ и $AC$ соответственно. Перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой $BC$, пересекается с перпендикуляром, проведённым из точки $C$ к прямой $AD$, в точке $H$. Докажите, что прямые $KL$ и $HM$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Баран на пастбище привязан сразу к двум деревьям, верёвками по 5 метров длиной. На пастбище есть ещё два дерева. Вместе эти деревья образуют 4 соседние вершины правильного шестиугольника со стороной в 2 метра (см. рисунок). Насколько близко он сможет подойти к дереву, к которому привязан?
Ответ:
Решение:
Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $AE=6$, $AC=8$, $CE=7$. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол $BCD$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Ответ:
Решение:
Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Ответ:
Решение:
Дан правильный $4n$-угольник $A_1A_2\ldots A_{4n}$ площади $S$, причём $n\gt 1$. Найдите площадь четырёхугольника $A_1A_nA_{n+1}A_{n+2}$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую — в отношении $2:1$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=12$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=6$.
Ответ:
Решение: