Внутри выпуклого пятиугольника отметили точку и соединили её со всеми вершинами. Какое наибольшее число из десяти проведённых отрезков (пяти сторон и пяти отрезков, соединяющих отмеченную точку с вершинами пятиугольника) может иметь длину 1?
Ответ:
Решение:
На шахматной доске стоял 21 король. Каждый из королей находился под боем хотя бы одного из остальных. После того как несколько королей убрали, никакие два из оставшихся королей друг друга не бьют. Какое наибольшее число королей могло остаться?
а) Приведите пример исходной расстановки и отметьте убранных королей.
б) Докажите, что большее число королей остаться не могло.
а) Приведите пример исходной расстановки и отметьте убранных королей.
б) Докажите, что большее число королей остаться не могло.
Ответ:
Решение:
Олег нарисовал пустую таблицу $50\times50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Ответ:
Решение:
После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени $T$ рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента $T$?
Ответ:
Решение:
За круглым столом сидели 99 человек, все разного роста. Каждый честно ответил на два вопроса:
- «Вы выше, чем ваш сосед справа?»
- «Вы выше, чем оба ваших соседа — справа и слева?»
Ответ:
Решение:
На презентации фирмы «Рога и Копыта» было 30 депутатов и бизнесменов. Известно, что депутаты всегда говорят правду, а бизнесмены могут говорить все, что угодно. Их всех усадили за один круглый стол. Во время неофициальной части каждый из них сделал заявление: «Среди двух моих соседей есть хотя бы один бизнесмен». Какое наибольшее число депутатов могло быть на презентации?
Ответ:
Решение:
При каком наибольшем натуральном $k$ клетки таблицы $5\times5$ можно заполнить нулями и единицами (в каждой клетке должно стоять ровно одно число) так, чтобы нашлись $k$ строк, в каждой из которых сумма чисел не меньше 3, и $k$ столбцов, в каждом из которых сумма чисел не больше 2?
Ответ:
Решение:
В турнире онлайн-игры участвуют 64 персонажа. В каждом из 6 раундов персонажи разбиваются на пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше.
Изначально уровни персонажей были равны $1, 2, \ldots, 64$. В битве всегда побеждает персонаж с б\'{о}льшим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться прежним.
Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?
Изначально уровни персонажей были равны $1, 2, \ldots, 64$. В битве всегда побеждает персонаж с б\'{о}льшим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться прежним.
Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?
Ответ:
Решение:
Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник $3\times100$ (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
Ответ:
Решение:
На праздновании Нового Года 40 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок одному из двух ближайших слева соседей (можно дарить подарок школьнику, даже если у него уже есть подарок). Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок, обмен подарками заканчивается.
1. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
2. Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
1. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
2. Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
Ответ:
Решение:
Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть $a$ — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
а) Чему равно наибольшее возможное значение $a$?
б) Чему равно наименьшее возможное значение $a$?
а) Чему равно наибольшее возможное значение $a$?
б) Чему равно наименьшее возможное значение $a$?
Ответ:
Решение:
В соревновании по настольному теннису участвовало ровно 50 ребят, среди которых половина рыцари, всегда говорящие правду, и половина — лжецы, которые всегда лгут. По правилам турнира проигравший выбывал. В результате после нескольких игр ровно половина ребят выбыла. После этих событий каждый из оставшихся участников заявил, что выиграл ровно у одного рыцаря. Какое наибольшее количество рыцарей могло остаться участниками турнира?
Ответ:
Решение:
В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда лгали. Через $n$ дней оказалось, что каждый из лентяев сходил на работу ровно 1 раз.
1. Найдите наибольшее возможное значение $n$.
2. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
1. Найдите наибольшее возможное значение $n$.
2. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Ответ:
Решение:
В левой верхней клетке прямоугольной клетчатой поляны $10\times 12$ сидят 7 жуков. За один ход один из жуков переползает на одну клетку вправо или на одну клетку вниз. Через несколько ходов все жуки собрались в правой нижней клетке. Каким может быть наименьшее количество клеток, не посещенных ни одним жуком?
Ответ:
Решение:
Каждое из чисел от 1 до 3491 покрашено в один из $k$ цветов (каждый цвет встречается). Оказалось, что для каждого цвета количество чисел этого цвета равно наименьшему числу этого цвета. При каком наибольшем $k$ это возможно?
Ответ:
Решение:
На городском проспекте через равные расстояния расположены 11 зданий: склады с напитками, курьерская компания, и 5 офисов. Расстояние между каждыми соседними зданиями равно 1 км.
Вчера утром поступило пять одинаковых заказов из офисов. В каждый офис нужно было привезти пять ящиков бутылок: с молоком, с кефиром, с квасом, с соком и с минеральной водой. Автомобиль курьера Василия может одновременно везти только один ящик. Вчера он выехал из здания курьерской компании и развозил напитки в офисы, пока не выполнил все заказы, а затем вернулся в точку старта.
1. За доставку каждого ящика Василий получает 100 рублей. Сколько рублей Василий заработал за вчерашний день?
2. На каждый километр пути автомобиль Василия тратит бензина на 5 рублей. Какую минимальную сумму Василий мог потратить на бензин за вчерашний день?
Вчера утром поступило пять одинаковых заказов из офисов. В каждый офис нужно было привезти пять ящиков бутылок: с молоком, с кефиром, с квасом, с соком и с минеральной водой. Автомобиль курьера Василия может одновременно везти только один ящик. Вчера он выехал из здания курьерской компании и развозил напитки в офисы, пока не выполнил все заказы, а затем вернулся в точку старта.
1. За доставку каждого ящика Василий получает 100 рублей. Сколько рублей Василий заработал за вчерашний день?
2. На каждый километр пути автомобиль Василия тратит бензина на 5 рублей. Какую минимальную сумму Василий мог потратить на бензин за вчерашний день?
Ответ:
Решение:
В стране 15 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города $A$ найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с $A$. Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
Ответ:
Решение:
В клетках таблицы $11\times11$ расставили числа от 1 до 121, каждое по разу. В каждой строке все числа идут по возрастанию слева направо, и в каждом столбце все числа идут по возрастанию сверху вниз. Назовём число особым, если оно отличается от каждого своего соседа хотя бы на 2. Какое наибольшее количество особых чисел может быть? Числа являются соседями, если они стоят в соседних по стороне клетках.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $n$ можно расставить числа от 1 до $n$ по кругу так, чтобы каждое число было либо больше всех 40 следующих за ним по часовой стрелке, либо меньше всех 30 следующих за ним по часовой стрелке?
Ответ:
Решение:
В ряд лежат 127 шариков, каждый из которых либо красный, либо зелёный, либо синий. Известно, что
2. Какое наименьшее количество красных шариков может лежать в ряду?
- есть хотя бы один красный, хотя бы один зелёный и хотя бы один синий шарик;
- слева от каждого синего шарика лежит красный шарик;
- справа от каждого зелёного шарика лежит красный шарик.
2. Какое наименьшее количество красных шариков может лежать в ряду?
Ответ:
Решение: