Укажите все значения $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} \log_{|x+4|}(ax+5a)=2\log_{|x+4|}(x+y),\\ x+2+\sqrt{x^2+4x+y-2}=0 \end{cases} \] имеет два различных решения, и найдите эти решения при каждом $a$.
Ответ:
Решение:
Найти все $a$, при которых уравнение \[\log_5\left(x+\sqrt{2-a}\right)+\log_{\frac{1}{5}}(a-1-x)=\log_{25}9\] имеет решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых система \[\begin{cases}\log_2(3-x+y)+3=\log_2(25-6x+7y),\\ y+2=(x-2a)^2+a+2x\end{cases}\] имеет два решения.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ 3x^2\log_a x-\log_x a-2x\geqslant 0 \] (относительно неизвестной $x$) состоит из полуинтервала и точки (которая не принадлежит этому полуинтервалу и не является его концом)?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство \[ 3\sqrt[3]{\log_x^7 2}+6\sqrt[3]{\log_x^4 2}+a^2\leqslant a\log_x^2 2+2a\log_x 2+3a\sqrt[3]{\log_x 2} \] не выполняется ни для одного $x$ из интервала $(1;2)$. Укажите решения неравенства при найденных значениях параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{\left(x^2-4x+5-a\right)(x-a+1)}{\sqrt{9-x}}\gt 0,\\ \log_{\frac{x^2-4x}{5}}a\leqslant1. \end{cases} \]
Ответ:
Решение: