Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющихся степенями числа 3 с натуральными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $27^{45}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 1400. Ответ необходимо представить в виде целого числа.
Ответ:
Решение:
Сколько существует четырёхзначных чисел, обладающих следующими свойствами: все цифры числа чётные; число кратно четырём; если зачеркнуть последнюю цифру, то полученное трёхзначное число не кратно четырём?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, сумма цифр каждого из которых равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на 125-м месте?
Ответ:
Решение:
Назовем число «новогодним», если в нем все цифры различные, оно не начинается с цифры 2 и при вычеркивании некоторого числа его цифр можно получить 2018. Сколько существует различных семизначных «новогодних» чисел?
Ответ:
Решение:
Андрею нравятся все числа, не делящиеся на $3$, а Тане нравятся все числа, в которых нет цифр, делящихся на $3$.\ а) Сколько четырёхзначных чисел нравятся и Андрею, и Тане?\ б) Найдите общую сумму цифр всех таких четырёхзначных чисел.
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных шестизначных чисел, в записи которых ровно две цифры 1, две цифры 0 и две цифры 3?
Ответ:
Решение:
Петя записал на доску 20 натуральных чисел $1, 2, \ldots, 20$. Вася сначала стёр все чётные числа, а затем стёр все числа, дающие остаток 4 при делении на 5. Сколько чисел осталось на доске?
Ответ:
Решение:
У Дениса есть карточки с числами от 1 до 50. Сколько существует способов выбрать две карточки так, чтобы разность чисел на карточках равнялась 11, а произведение делилось на 5?
Порядок выбранных карточек не важен: например, способ выбора карточек с числами 5 и 16, а также способ выбора карточек с числами 16 и 5 — это один и тот же способ.
Порядок выбранных карточек не важен: например, способ выбора карточек с числами 5 и 16, а также способ выбора карточек с числами 16 и 5 — это один и тот же способ.
Ответ:
Решение:
На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой 1. Например, если попытаться напечатать число 1231234, то пропечатается только число 23234.
Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только 202020. Сколько существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?
Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только 202020. Сколько существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?
Ответ:
Решение:
Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 встречается ровно один раз.
1. У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?
2. У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке возрастания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?
1. У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?
2. У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке возрастания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?
Ответ:
Решение:
Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их гранях с помощью точек нанесены числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 8. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит как показано на рисунке, и обозначает старший разряд числа?
Ответ:
Решение: