Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе неравенств \[ \begin{cases} y\gt 2^x+3\cdot 2^{65};\\ y\leqslant 70+\left(2^{64}-1\right)x. \end{cases} \] Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.
Ответ:
Решение:
В выпуклом $17$-угольнике проводят все его диагонали. На какое наибольшее число частей они могут его разбить?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге нарисовали ступенчатый прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 клеткам. Потом обвели все линии сетки, находящиеся внутри треугольника. Какое наибольшее количество прямоугольников можно найти на этом рисунке?
Ответ:
Решение:
Пусть $F$ — множество точек в пространстве, все координаты которых являются целыми числами, не превосходящими по модулю 5. Найдите количество прямоугольных треугольников, все вершины которых принадлежат $F$, а каждый из катетов параллелен одной из трех координатных осей.
Ответ:
Решение:
Дан клетчатый квадрат $101\times101$ с занумерованными клетками. Из него нужно вырезать клетчатый прямоугольник меньшего размера так, чтобы квадрат не распался на две части и у оставшейся фигуры не было дырки внутри. Разрезы можно проводить только по линиям сетки. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных многочленов вида $P(x)=x^5+Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$, где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — целые положительные числа, для которых $P(-1)=11$, $P(1)=21$?
Ответ:
Решение:
Сколько диагоналей в правильном 32-угольнике не параллельны ни одной из сторон этого 32-угольника?
Ответ:
Решение:
Дан правильный 27-угольник $A_1A_2\ldots A_{27}$. Найдите количество неравнобедренных треугольников с вершинами в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_{27}$. Треугольники, отличающиеся порядком вершин (например, $A_1A_2A_4$ и $A_2A_4A_1$), считаются за один треугольник.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В вершинах правильного 30-угольника разместили 28 белых и 2 чёрных фишки, причем чёрные фишки лежат в соседних вершинах. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ такой, что $AB=30$, $BC=24$, $AC=18$. На стороне $BC$ отмечено последовательно $23$ точки: $B_1, B_2, \ldots, B_{23}$ так, что эти точки разбивают $BC$ на $24$ единичных отрезка. Аналогично, на стороне $AC$ отмечено последовательно $17$ точек: $A_1, A_2, \ldots, A_{17}$ так, что эти точки разбивают $AC$ на $18$ единичных отрезков. Сколько существует треугольников с площадью $11$ и вершинами, которые выбираются из точек $A, A_1, A_2, \ldots, A_{17}, B, B_1, B_2, \ldots, B_{23}, C$?
Ответ:
Решение:
Даны 12 точек: 7 из них лежат на одной окружности в плоскости $\alpha$, а остальные 5 расположены вне плоскости $\alpha$. Известно, что если четыре точки из всех 12 лежат в одной плоскости, то эта плоскость — $\alpha$. Сколько существует выпуклых пирамид с вершинами в данных точках? (Пирамиды считаются различными, если их множества вершин различны.)
Ответ:
Решение:
На каждой из прямых $y=3$ и $y=4$ отмечено по 73 точки с абсциссами $1, 2, 3, \ldots, 73$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 146 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
На каждой из прямых $y=1$ и $y=12$ отмечено по $200$ точек с абсциссами $1, 2, 3, \ldots, 200$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных $400$ так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
На каждой из прямых $x=0$ и $x=2$ отмечено по 62 точки с ординатами $1, 2, 3, \ldots, 62$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 124 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке $(60,45)$. Найдите количество таких квадратов.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке $(50,30)$. Найдите количество таких квадратов.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами трапеций.
Ответ:
Решение: