На столе стоит 50 гирь попарно различных положительных весов. Может ли случиться, что для любых 24 из этих гирь среди оставшихся гирь можно выбрать несколько такого же суммарного веса?
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, что неполные частные от деления $n$ на все натуральные числа от 10 до 1000 включительно — это различные нечетные простые числа, а остатки — составные числа (не обязательно различные)? Напомним, что 0 не является составным числом.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$. Из натуральных чисел, не превосходящих $12k^3$, выбраны $6k+20$ чисел. Докажите, что из них можно выбрать две непересекающиеся шестерки чисел с равными суммами.
Ответ:
Решение:
Дано 1000-значное число без нулей в записи. Докажите, что из этого числа можно вычеркнуть несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной степенью числа, меньшего 500.
Ответ:
Решение:
На графике функции $y=x^2$ отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка $[0;100\,000]$. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ таких, что площади треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ равны.
Ответ:
Решение:
У натурального числа ровно 50 делителей. Может ли оказаться, что никакая разность двух различных его делителей не делится на 100?
Ответ:
Решение:
У Пети есть 10 000 гирь, среди них нет двух гирь равного веса. Также у него есть чудо-прибор: если положить в него 10 гирь, он сообщит сумму весов каких-то двух из них (при этом неизвестно, каких именно). Докажите, что Петя может использовать чудо-прибор так, чтобы через некоторое время указать на одну из гирь и точно назвать её вес. (В чудо-прибор нельзя класть другое количество гирь.)
Ответ:
Решение:
У 100 школьников есть стопка из 101 карточки, которые пронумерованы числами от 0 до 100. Первый школьник перемешивает стопку, затем берёт сверху из получившейся стопки по одной карточке, и при каждом взятии карточки (в том числе при первом) записывает на доску среднее арифметическое чисел на всех взятых им на данный момент карточках. Так он записывает 100 чисел, а когда в стопке остаётся одна карточка, он возвращает карточки в стопку, и далее всё то же самое, начиная с перемешивания стопки, проделывает второй школьник, потом третий, и т. д. Докажите, что среди выписанных на доске 10000 чисел найдутся два одинаковых.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\geqslant4$ и $2n+4$ карточки, пронумерованные числами $1$, $2$, $\ldots$, $2n+4$. На карточке с номером $m$ написано вещественное число $a_m$, причем $[a_m]=m$. Докажите, что можно выбрать 4 карточки так, чтобы сумма чисел на первых двух карточках отличалась от суммы чисел на двух других карточках менее чем на $\dfrac{1}{n-\sqrt{n/2}}$.
Ответ:
Решение:
Пусть $p$ — простое число, большее 3. Докажите, что найдётся натуральное число $y$, меньшее $p/2$ и такое, что число $py+1$ невозможно представить в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше $y$.
Ответ:
Решение:
Из клетчатого бумажного квадрата $100\times100$ вырезали по границам клеток 1950 двуклеточных прямоугольников. Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида (см. рисунок) — возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)
Ответ:
Решение:
В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более, чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 1 000 000 разбили на 100 000 десятков (то есть групп от $10a+1$ до $10a+10$) и в каждом десятке покрасили одно число в красный цвет, а другое в зелёный. Докажите, что можно выбрать несколько (не более 50) красных чисел и столько же зелёных чисел так, чтобы сумма выбранных красных чисел была равна сумме выбранных зелёных.
Ответ:
Решение:
В клетчатом квадрате $11\times11$ отметили все 144 вершины клеток. Затем отмеченные точки раскрасили в пять цветов. При каком наибольшем $d$ могло оказаться, что расстояние между любыми двумя одноцветными отмеченными точками не меньше $d$?
Ответ:
Решение:
На 2025 островах Северного Ледовитого океана живут несколько медведей. Каждый медведь иногда совершает заплыв, переплывая с одного острова на другой. Оказалось, что за год каждый медведь совершил хотя бы один заплыв, но никакие два медведя не сделали поровну заплывов. При этом между каждыми двумя островами $A$ и $B$ был совершен ровно один заплыв: либо из $A$ в $B$, либо из $B$ в $A$. Докажите, что на каком-то острове и в начале, и в конце года не было медведей.
Ответ:
Решение:
На доску выписали 777 попарно различных комплексных чисел. Оказалось, что можно ровно 760 способами выбрать два числа $a$ и $b$, записанных на доске, так, чтобы выполнялось равенство \[ a^2+b^2+1=2ab. \] Способы, которые отличаются перестановкой чисел, считаются одинаковыми. Докажите, что можно выбрать такие два числа $c$ и $d$, записанных на доске, что \[ c^2+d^2+2025=2cd. \]
Ответ:
Решение:
На доску записали 99 чисел, среди которых нет равных. В тетрадку выписали $\dfrac{99\cdot98}{2}$ чисел — все разности двух чисел с доски (каждый раз из большего числа вычитали меньшее). Оказалось, что в тетрадке число 1 записано ровно 85 раз. Пусть $d$ — наибольшее число, записанное в тетрадке. Найдите наименьшее возможное значение $d$.
Ответ:
Решение:
На шахматной доске размера $30\times30$ стоит 220 не бьющих друг друга королей. Докажите, что в любом квадрате $9\times9$ стоит не менее 11 королей. Напомним, что король бьет клетки, соседние со своей по горизонтали, вертикали или диагонали.
Ответ:
Решение:
Существуют ли 10 000 последовательных семизначных чисел, которые можно разбить на 99 групп так, чтобы сумма всех чисел в каждой из групп была одной и той же?
Ответ:
Решение:
Петя задумал 8 различных чисел, а потом стал выбирать из них по два и делить большее на меньшее. Он нашел 22 из 28 возможных частных, и они оказались натуральными степенями двойки. Докажите, что 6 оставшихся частных — тоже натуральные степени двойки. (Натуральная степень двойки — это 2 в степени, показатель которой равен натуральному числу.)
Ответ:
Решение: