Разбейте какой-нибудь клетчатый квадрат на клетчатые квадратики так, чтобы не все квадратики были одинаковы, но квадратиков каждого размера было одно и то же количество.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости построены четыре прямые, уравнения которых имеют вид $y=kx+b$. Все коэффициенты и свободные члены — различные натуральные числа от 1 до 8. Могут ли эти 4 прямые разделить плоскость ровно на 8 частей?
Ответ:
Решение:
Нарисуйте шесть лучей так, чтобы они пересекались ровно в четырех точках, по три луча в каждой точке. Отметьте начала лучей жирными точками.
Ответ:
Решение:
На доске написано выражение $\cos x$. Разрешается сложить или перемножить несколько написанных на доске выражений (одно выражение может использоваться несколько раз) и дописать полученное новое выражение на доску. Можно ли за несколько действий получить выражение, которое при $x=\pi$ принимает значение 0?
Ответ:
Решение:
На доске написаны функции: $x+1$, $x^2+1$, $x^3+1$, $x^4+1$. Разрешается дописывать на доску новые функции, получаемые из написанных на доске с помощью операций вычитания и умножения. Покажите, как получить ненулевую функцию, которая при положительных значениях аргумента принимает неотрицательные значения, а при отрицательных значениях аргумента — неположительные значения.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция с основаниями 4 и 12 и высотой 4. Можно ли разрезать её на три части и сложить из этих частей квадрат?
Ответ:
Решение:
Изначально на столе лежали 10 куч конфет, в которых было 1, 2, $\ldots$, 10 конфет соответственно. Малыш решил перераспределить конфеты. На каждой нечётной минуте он выбирает одну из куч и делит её на две кучи, в каждой из которых хотя бы по одной конфете. На каждой чётной минуте он выбирает две кучи и объединяет их в одну (таким образом, первым действием он делит кучу на две). Может ли в некоторый момент оказаться, что все кучи на столе содержат одно и то же количество конфет?
Ответ:
Решение:
В кружочки на рисунке расставлены натуральные числа 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (каждое число — в одном кружочке) так, что все три суммы трёх чисел вдоль каждой линии равны. Какое число может оказаться в кружочке $X$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Числа 13, 14, 15, $\ldots$, 25 покрашены в пять цветов: одно чёрное число, три красных, три синих, три жёлтых, три зелёных.
Известно, что:
2. Найдите три зелёных числа.
Известно, что:
- все четыре суммы трёх одноцветных чисел равны;
- число 13 — красное, 15 — жёлтое, 23 — синее.
2. Найдите три зелёных числа.
Ответ:
Решение:
В таблице $3\times3$ расставлены действительные числа. Оказалось, что произведение чисел в любой строке и любом столбце равно 10, а произведение чисел в любом квадрате $2\times2$ равно 3. Найдите число, стоящее в центральной клетке.
Ответ:
Решение:
У учителя есть 100 гирь массами 1 г, 2 г, …, 100 г. Он хочет раздать Пете и Васе по 30 гирь так, чтобы выполнялось следующее условие:
- никакие 11 Петиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Васиными гирями;
- никакие 11 Васиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Петиными гирями.
Ответ:
Решение:
Существуют ли четыре попарно различных положительных числа $a$, $b$, $c$, $d$, при которых все четыре числа \[ \frac{a+b}{a-b},\quad \frac{b+c}{b-c},\quad \frac{c+d}{c-d},\quad \frac{d+a}{d-a} \] являются целыми?
Ответ:
Решение:
Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся еще ровно одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным.
Ответ:
Решение:
Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) буквами $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ так, чтобы число $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{d}{e+f}$ было натуральным.
Ответ:
Решение:
Операция удвоения цифры натурального числа состоит в умножении этой цифры на 2 (если это произведение оказывается двузначным, то цифра в следующем разряде числа увеличивается на 1, как при сложении «в столбик»). Например, из числа 9817 удвоениями цифр 7, 1, 8 и 9 можно получить числа 9824, 9827, 10617 и 18817 соответственно. Можно ли из числа $22\ldots22$ (20 двоек) несколькими такими операциями получить число $22\ldots22$ (21 двойка)?
Ответ:
Решение:
Можно ли отметить несколько клеток в таблице $9\times9$, чтобы в любых двух соседних строках таблицы было отмечено не меньше 6 клеток, а в любых двух соседних столбцах — не больше 5 клеток?
Ответ:
Решение:
Как без остатка разрезать клетчатый квадрат размером $8\times8$ клеточек на 10 клетчатых прямоугольников, чтобы все прямоугольники имели различные площади? Все разрезы должны проходить по границам клеточек.
Ответ:
Решение:
Вася расставил по кругу все натуральные числа от 1 до 100 в каком-то порядке. Скажем, что число хорошо стоит, если соседнее с ним число по часовой стрелке больше, чем соседнее с ним число против часовой стрелки. Могло ли оказаться, что хорошо стоят по крайней мере 99 чисел?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы размером $6\times6$ записали некоторое положительное число (не обязательно целое). Оказалось, что в любой фигурке из четырёх клеток таблицы в форме буквы «Г» произведение всех стоящих там чисел равно 100. В левом верхнем углу стоит число 2. Какое число стоит в правом верхнем углу (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
Назовем пару различных натуральных чисел хорошей, если одно из них делится нацело на другое. Найдите такие 20 натуральных чисел, среди которых нет равных, что если выписать все возможные пары этих чисел, то количество хороших среди них будет равно 101. (Каждая пара записывается один раз. Порядок чисел в парах не учитывается, то есть пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются за одну.)
Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются.
Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются.
Ответ:
Решение: