В математическом кружке занимаются 24 школьника. Каждую команду, состоящую из 6 школьников, руководитель считает либо сыгранной, либо несыгранной. Для турнира математических боёв руководитель собирается разбить детей на 4 команды по 6 человек. Может ли оказаться, что при любом разбиении школьников на 4 команды сыгранными оказываются либо ровно три команды, либо ровно одна, причём и тот, и другой варианты присутствуют?
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $a\geqslant 2b$. Существует ли многочлен $P(x)$ степени больше 0 с коэффициентами из множества $\{0,1,2,\ldots,b-1\}$ такой, что $P(a)$ делится на $P(b)$?
Ответ:
Решение:
Дана прямолинейная дорога, выложенная из зелёных и красных дощечек (дорога — отрезок, разбитый на отрезки-дощечки). Цвета дощечек чередуются; первая и последняя дощечки — зелёные. Известно, что длины всех дощечек больше сантиметра и меньше метра, а также что длина каждой следующей дощечки больше предыдущей. Кузнечик хочет пропрыгать вперёд по дороге по этим дощечкам, наступив на каждую зелёную дощечку хотя бы один раз и не наступив ни на одну красную дощечку (или границу между соседними дощечками). Докажите, что кузнечик может сделать это так, чтобы среди длин его прыжков встретилось не более 8 различных значений.
Ответ:
Решение:
Юрий подошёл к великой таблице майя. В таблице 200 столбцов и $2^{200}$ строк. Юрий знает, что в каждой клетке таблицы изображено солнце или луна, и любые две строки отличаются (хотя бы в одном столбце). Каждая клетка таблицы закрыта листом. Поднялся ветер и сдул некоторые листы: по два листа с каждой строки. Могло ли так случиться, что теперь Юрий хотя бы про 10 000 строк может узнать, что в каждой из них изображено в каждом из столбцов?
Ответ:
Решение:
На доске написаны 8 различных квадратных трёхчленов; среди них нет двух, дающих в сумме нулевой многочлен. Оказалось, что если выбрать любые два трёхчлена $g_1(x)$, $g_2(x)$ с доски, то оставшиеся 6 трёхчленов можно обозначить как $g_3(x)$, $g_4(x)$, …, $g_8(x)$ так, что у всех четырёх многочленов $g_1(x)+g_2(x)$, $g_3(x)+g_4(x)$, $g_5(x)+g_6(x)$ и $g_7(x)+g_8(x)$ есть общий корень. Обязательно ли все трёхчлены на доске имеют общий корень?
Ответ:
Решение:
Существует ли натуральное число $n\gt 10^{100}$ такое, что десятичные записи чисел \[ n^2\quad\text{и}\quad(n+1)^2 \] отличаются перестановкой цифр? (Иначе говоря, в десятичных записях чисел $n^2$ и $(n+1)^2$ должно быть поровну цифр 0, поровну цифр 1, …, поровну цифр 9.)
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число $n$ странным, если существуют такие попарно различные натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$, большие 1, что \[ n=a^{a^a}=b^{b^c}=d^{e^e}. \] Конечно или бесконечно количество странных чисел? (Напомним, что $x^{y^z}$ означает число, получившееся в результате возведения числа $x$ в степень $y^z$.)
Ответ:
Решение:
В школе 30 кружков, в каждом занимаются 40 детей. Для каждого $i=1, 2, \ldots, 30$ обозначим через $n_i$ количество детей, занимающихся ровно в $i$ кружках. Докажите, что в этой же школе можно организовать 40 кружков с 30 детьми в каждом так, чтобы числа $n_i$ для этих новых кружков были бы теми же самыми.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. За одну операцию можно либо вычесть из имеющегося числа любое натуральное число, меньшее его наименьшего простого делителя, либо разделить его на его наименьший простой делитель. Существует ли такое составное $n$, что из него нельзя получить простое число менее, чем за 2021 операцию?
Ответ:
Решение:
В квадратной таблице $2021\times2021$ стоят натуральные числа. Можно выбрать любой столбец или любую строку в таблице и выполнить одно из следующих действий:
1) прибавить к каждому выбранному числу 1;
2) разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число.
Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
1) прибавить к каждому выбранному числу 1;
2) разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число.
Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого целого неотрицательного числа $k$, не превосходящего $\dfrac{2022\cdot2021}{2}$, существуют такие 2022 числа, что все их $\dfrac{2022\cdot2021}{2}$ попарные суммы различны и среди этих сумм ровно $k$ положительных.
Ответ:
Решение: