Парабола $y=20x^2+19x$ и прямая $y=20x+19$ пересекаются в двух точках. Верно ли, что график функции $y=20x^3+19x^2$ проходит через эти же две точки?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого треугольника с вершинами на графике многочлена степени $2025$ и для любой точки $P$ на границе или внутри этого треугольника найдётся содержащий точку $P$ отрезок с концами на графике, длина которого не превосходит длины наибольшей стороны этого треугольника.
Ответ:
Решение:
Для любого натурального $n$ и для любого набора чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ из отрезка $[0;3]$ уравнение \[ \sum_{i=1}^{n}|x-x_i|=an \] имеет решение $x$, принадлежащее отрезку $[0;3]$. Укажите, какие из следующих значений $a$ удовлетворяют этому условию: a) $a=0$; b) $a=\dfrac32$; c) $a=2$.
Ответ:
Решение:
В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график показательной функции $y=3^x$. Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y$?
Ответ:
Решение:
Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции $y=\sin x$. Может ли та же кривая являться графиком функции $y=\sin^2x$ в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $f^{(n)}(x)$ последовательное применение $n$ раз функции $f$ (например, $f^{(2)}(x)=f(f(x))$ и т. д.). Даны функции $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$ и $h(x)=\dfrac{x+1}{x}$. Найдите значение выражения \[ g^{(2015)}(100)\cdot h^{(2015)}(1/100). \]
Ответ:
Решение:
Есть функция \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{1-x^5}}. \] Вычислите \[ f(f(f(f(f(\ldots f(2022))))\ldots)), \] где функция $f$ применяется 1303 раза.
Ответ:
Решение:
Проекции некоторой кривой в координатном пространстве на плоскости $Oxz$ и $Oyz$ удовлетворяют уравнениям $5x+\cos z=0$ и $z=\mathrm{arctg}\sqrt{y-3}$ соответственно. Найдите функцию $y=f(x)$, график которой состоит из тех и только тех точек, которые могли бы при этих условиях служить проекциями точек той же кривой на плоскость $Oxy$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y=x^3-ax$. Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y=-4x$, а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и площадь квадрата.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y=x^5+ax$. Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y=-3x$, а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и сторону квадрата.
Ответ:
Решение:
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции \[ f(x)=\dfrac{1}{2^x+1}? \]
Ответ:
Решение:
Построить график функции $\displaystyle y=\left|\cos\left(\frac{\pi}{2}\left(|x|-\frac12\right)\right)\right|$
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Построить график функции $y=f(x)=|x+2|(x-2)$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=a$ имеет ровно три общие точки с графиком функции $y=f(x)$.
Ответ:
Решение:
Построить график функции $\displaystyle y=f(x)=\frac{2x^3+5x^2-2x-5}{x^2-1}$. Найти все значения параметра $k$, при каждом из которых прямая $y=kx$ не имеет общих точек с графиком функции $y=f(x)$.
Ответ:
Решение:
Графически решить уравнения (пункт б) — шутка, но корни и там тоже очень хорошие):
а) $\displaystyle \log_2(|x+2|-1)=\frac{x+13}{8}$
б) $\displaystyle \log_2(|x+2|-1)=\frac{13 {{x}^{2}}}{120}+\frac{41 x}{120}$
а) $\displaystyle \log_2(|x+2|-1)=\frac{x+13}{8}$
б) $\displaystyle \log_2(|x+2|-1)=\frac{13 {{x}^{2}}}{120}+\frac{41 x}{120}$
Ответ:
Решение:
Графически решить уравнения (пункт б) — шутка, но корни и там тоже очень хорошие):
а) $\displaystyle \log_2(|x+1|+1)=\frac{x+24}{10}$
б) $\displaystyle \log_2(|x+1|+1)=\frac{23 {{x}^{2}}}{210}-\frac{5 x}{42}-\frac{8}{35}$
а) $\displaystyle \log_2(|x+1|+1)=\frac{x+24}{10}$
б) $\displaystyle \log_2(|x+1|+1)=\frac{23 {{x}^{2}}}{210}-\frac{5 x}{42}-\frac{8}{35}$
Ответ:
Решение:
Построить множество точек плоскости, заданное системой неравенств
$$\left\{\begin{aligned}
&y \leqslant -x^2+4x+5;\\
&y \geqslant 9-x.
\end{aligned}\right.$$
Указать координаты точки данного множества с наибольшей ординатой и с наименьшей ординатой.
Ответ:
Решение: