Точка $R_1$ — середина отрезка $ST$; точка $R_2$ — середина отрезка $SR_1$; для каждого $n\geqslant 3$ точка $R_n$ — середина отрезка $R_{n-2}R_{n-1}$. Пусть $R$ — предельное положение точки $R_n$ при $n\to\infty$. Найдите длину отрезка $RT$, если длина отрезка $ST$ равна $15$.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=\dfrac{x}{3}+2$. Найдите значение функции \[ \underbrace{f(\ldots f(f}_{2009}(x))\ldots) \] в точке $x=4$.
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяют соотношению $a_{n+1}=2a_n+3$, $a_1=a$ для любых $n$ и целом $a$. При каких $a$ число 637 является членом последовательности?
Ответ:
Решение:
Может ли соотношение $x_{n+2}\cdot x_{n+1}=x_{n+1}\cdot x_n-2$, $x_1=2$, $x_2=2017$ определять члены последовательности $x_n$ для всех $n$? Найти $n$, для которого $x_n=0$.
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $x_n$ являются решениями уравнения \[ F_n(x)=\underbrace{f(f(f\ldots(f(x))\ldots)}_{n}=0 \] для всех $n\geqslant1$. Написать формулу общего члена последовательности и найти $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$, если $f(x)=2x-3$.
Ответ:
Решение:
Антон выписал на доску числа $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{2025}$ такие, что не все они равны между собой. Внимательно изучив числа на доске, Константин заметил следующую закономерность: для любого натурального значения $k\in[2;2024]$ число $A_{k+1}-A_k$ вдвое меньше, чем $A_{k+1}-A_{k-1}$. Каково наименьшее возможное значение отношения \[ \dfrac{A_{100}-A_{98}}{A_{2023}-A_{2013}}? \]
Ответ:
Решение:
На доску выписаны числа $a_1, a_2, \ldots, a_{200}$. Известно, что $a_1=3$, $a_2=9$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ такова, что $a_1=4$, $a_2=25$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n+2}$.
Ответ:
Решение: