Готовые варианты контрольных — за минуты

На шкуре у Носорога складки — вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку $a$ вертикальных, $b$ горизонтальных складок, а на правом — $c$ вертикальных и $d$ горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии $((a;b);(c;d))$ или просто Носорог $((a;b);(c;d))$.
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз и у Носорога на этом боку найдутся две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух горизонтальных складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично, если Носорог чешется боком вперед-назад и на этом боку найдутся две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдется, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется одна вертикальная складка и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком, о случайные баобабы в случайных направлениях.
Вначале в саванне было стадо Носорогов $((0;2);(2;1))$. Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог $((2;0);(2;1))$.

Правильная игральная кость бросается много раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных до того момента, когда сумма всех выпавших очков достигнет 2010.

По условиям шахматного матча победителем объявляется тот, кто опередил соперника на две победы. Ничьи в счет не идут. Вероятности выигрыша у соперников одинаковы. Число результативных партий в таком матче — величина случайная. Найдите ее математическое ожидание.

На рулетке может выпасть любое число от 0 до 2007 с одинаковой вероятностью. Рулетку крутят раз за разом. Обозначим $P_k$ вероятность того, что в какой-то момент сумма чисел, выпавших при всех сделанных бросках, равна $k$. Какое число больше: $P_{2007}$ или $P_{2008}$?

Точка выходит из начала координат на прямой и делает $a$ шагов на единицу вправо, $b$ шагов на единицу влево в каком-то порядке, причём $a\gt b$. Размахом блуждания точки назовём разность между наибольшей и наименьшей координатами точки за всё время блуждания.
а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.
б) Найдите наименьший возможный размах.
в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?

Игральную кость бросают раз за разом. Обозначим $P_n$ вероятность того, что в какой-то момент сумма очков, выпавших при всех сделанных бросках, равна $n$. Докажите, что при $n\geqslant 7$ верно равенство $P_n=\frac{P_{n-1}+P_{n-2}+\ldots+P_{n-6}}{6}$.