Готовые варианты контрольных — за минуты

На новогоднем столе в ряд стоят 4 бокала: первый и третий с апельсиновым соком, а второй и четвертый — пустые. В ожидании гостей Валя рассеянно и случайно переливает сок из одного бокала в другой. За один раз она может взять полный бокал и перелить из него все содержимое в какой-нибудь из двух пустых бокалов.
Найдите математическое ожидание числа переливаний, в результате которых первый раз получится все наоборот: первый и третий будут пусты, а второй и четвертый — полны.

В круг встали 10 матросов, у каждого в руке поднятый флажок. Каждую секунду один случайный матрос, независимо от предыдущих событий, опускает свой флажок (если он был поднят) или поднимает (если флажок был опущен). Докажите, что событие «через некоторое время все флажки снова будут подняты» имеет вероятность 1.

Три мухи одновременно садятся на равносторонний треугольник — по одной мухе в каждую вершину. Каждую минуту после этого каждая муха моментально перелетает в другую вершину, выбирая её случайным образом независимо от других мух и предыдущих перелётов. Одновременно в вершине может оказаться больше одной мухи. Найдите математическое ожидание величины «время, через которое все три мухи окажутся в одной вершине».

Вершины правильного 25-угольника пронумерованы по порядку. В первой вершине находится крупинка сахара, а в третьей вершине сидит муравей. В какой-то момент он начинает беспорядочно ползать из вершины в вершину. Ровно за одну минуту он переползает из вершины, где находился, в соседнюю вершину. Направление дальнейшего движения в каждой вершине он выбирает случайно. Блуждание заканчивается, как только муравей найдет крупинку сахара. Найдите математическое ожидание случайной величины «продолжительность блуждания».

Правильная игральная кость бросается много раз. Известно, что в какой-то момент сумма очков стала равна ровно 2010. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных к этому моменту.

Проезд в маршрутке стоит 75 рублей. Пятнадцать пассажиров заходят поодиночке и между собой деньгами не меняются. С вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю купюру 100 рублей и получает 25 рублей сдачи монетами по 5 или 10 рублей, а с вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю 50 рублей одной купюрой и 25 рублей монетами.
а) Перед рейсом у водителя монет не было вообще. Какова вероятность того, что водитель сможет немедленно дать сдачу каждому, кто расплачивается купюрой 100 рублей?
б) Какую сумму монетами должен иметь водитель перед выездом, чтобы с вероятностью не менее $0{,}95$ иметь возможность немедленно дать сдачу всем пассажирам, расплатившимся сторублёвкой?