Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
а) меньше $4/5$;
б) меньше $4/7$?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
а) меньше $4/5$;
б) меньше $4/7$?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
Ответ:
Решение:
У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ четыре числа — длины рёбер и диагонали $AC_1$ — образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью $d$, причём $AA_1\lt AB\lt BC$. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса $R$ расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, $ABCD$, а вторая — граней $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $A_1B_1C_1D_1$. Найти:
а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми $CD_1$ и $AC_1$,
в) радиус $R$.
а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми $CD_1$ и $AC_1$,
в) радиус $R$.
Ответ:
Решение:
На гранях единичного куба отметили $8$ точек, которые служат вершинами меньшего куба. Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба.
Ответ:
Решение:
Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, основание которой — прямоугольник $ABCD$. Известно, что $SB\perp ABC$, $AS=\sqrt{3}$, $SD=\sqrt{7}$, а $\angle SAB=30^\circ$. Найдите периметр $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Площади оснований усечённой пирамиды равны $12$ и $75$, а высота равна $21$. Найдите её объём.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные правильные четырёхугольные пирамиды, у которых медианы боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны $a$.
а) Найдите наибольший возможный объём рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объёма найдите угол между соседними боковыми гранями.
а) Найдите наибольший возможный объём рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объёма найдите угол между соседними боковыми гранями.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$, в которой $AB=14\sqrt{42}$, $AS=49\sqrt6$. Муравей пробежал по всем боковым граням пирамиды, начав путь в вершине $A$, и вернувшись в эту же вершину. Какой минимальный путь он мог проделать?
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $DABC$ лежит правильный треугольник $ABC$, угол $ACD$ прямой. Сфера с диаметром $BD$ пересекает повторно рёбра $AD$, $AB$ и $CD$ в точках $E$, $F$ и $C$ соответственно. Найдите объём пирамиды $EACF$, если $AB=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
Известно, что сумма плоских углов при каждой вершине треугольной пирамиды равна $180^\circ$, а периметр основания равен $p$. Найти сумму длин всех ребер пирамиды.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенными из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие $30^\circ$. Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ не длиннее, чем 3, 4 и 5 соответственно, а площади граней $SAB$, $SAC$ и $SBC$ не меньше, чем 6, $15/2$ и 10 соответственно. Найдите объём пирамиды $SABC$.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются четырёхугольные пирамиды $MABCD$ со следующими свойствами: основание пирамиды — выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=1$, $CD=DA=2$, а каждая из плоскостей боковых граней $MAB$, $MBC$, $MCD$, $MDA$ составляет угол $45^\circ$ с плоскостью основания.
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины $M$, равна $\dfrac95$.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины $M$, равна $\dfrac95$.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамида $SABC$ ($S$ — вершина) обладает следующими свойствами:
1) длины проекций боковых рёбер на плоскости боковых граней, не содержащих эти рёбра (то есть проекция ребра $SA$ на плоскость грани $SBC$, и так далее), равны между собой;
2) длины проекций боковых рёбер на плоскость основания пирамиды также равны между собой.
Известно, что $\cos\angle ASB=-\dfrac{15}{17}$, $AB=6$. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.
1) длины проекций боковых рёбер на плоскости боковых граней, не содержащих эти рёбра (то есть проекция ребра $SA$ на плоскость грани $SBC$, и так далее), равны между собой;
2) длины проекций боковых рёбер на плоскость основания пирамиды также равны между собой.
Известно, что $\cos\angle ASB=-\dfrac{15}{17}$, $AB=6$. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $SABC$. Известно, что ортогональные проекции ребер $SA$, $SB$, $SC$ на плоскость $ABC$ имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра $SC$ на плоскость $SAB$ и ортогональная проекция ребра $SB$ на плоскость $SAC$. Найдите отношение $AB:AC$, если известно, что оно не равно 1, а $\sin\angle SAB=\dfrac{10}{\sqrt{149}}$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде боковые грани, имеющие площади \[ \dfrac{1625}{4},\quad \dfrac{1885}{4},\quad 585, \] образуют равные углы с основанием. Площадь основания равна 360. Какой наименьший объём может иметь такая пирамида? Если необходимо, ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Плоскость $P$ пересекает боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $M$, $N$, $K$ соответственно и образует угол $45^\circ$ с боковой гранью $SBC$. Найти объем пирамиды $SABC$, если произведение ее ребер $SA\cdot SB\cdot SC=5\sqrt{15}$, а пирамида $SMNK$ правильная.
Ответ:
Решение:
В каком отношении $CE:CD$ точка $E$ делит сторону $CD$ основания правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, боковое ребро которой наклонено к основанию под углом $30^\circ$, если известно, что площадь треугольника $SBE$ минимально возможная?
Ответ:
Решение:
На ребре $AS$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $AM=MN=NS$. Найдите площадь треугольника $NBC$, если площади треугольников $ABC$, $MBC$ и $SBC$ равны 1, 2 и $\sqrt{37}$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Каков минимальный объём пирамиды, у которой в основании лежит правильный треугольник со стороной 6, а все плоские углы при вершине равны между собой и не превосходят $2\arcsin\dfrac13$?
Ответ:
Решение: