Дана треугольная пирамида $SABC$. Известно, что ортогональные проекции ребер $SA$, $SB$, $SC$ на плоскость $ABC$ имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра $SC$ на плоскость $SAB$ и ортогональная проекция ребра $SB$ на плоскость $SAC$. Найдите отношение $AB:AC$, если известно, что оно не равно 1, а $\sin\angle SAB=\dfrac{10}{\sqrt{149}}$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде боковые грани, имеющие площади \[ \dfrac{1625}{4},\quad \dfrac{1885}{4},\quad 585, \] образуют равные углы с основанием. Площадь основания равна 360. Какой наименьший объём может иметь такая пирамида? Если необходимо, ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Плоскость $P$ пересекает боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $M$, $N$, $K$ соответственно и образует угол $45^\circ$ с боковой гранью $SBC$. Найти объем пирамиды $SABC$, если произведение ее ребер $SA\cdot SB\cdot SC=5\sqrt{15}$, а пирамида $SMNK$ правильная.
Ответ:
Решение:
В каком отношении $CE:CD$ точка $E$ делит сторону $CD$ основания правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, боковое ребро которой наклонено к основанию под углом $30^\circ$, если известно, что площадь треугольника $SBE$ минимально возможная?
Ответ:
Решение:
На ребре $AS$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $AM=MN=NS$. Найдите площадь треугольника $NBC$, если площади треугольников $ABC$, $MBC$ и $SBC$ равны 1, 2 и $\sqrt{37}$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Каков минимальный объём пирамиды, у которой в основании лежит правильный треугольник со стороной 6, а все плоские углы при вершине равны между собой и не превосходят $2\arcsin\dfrac13$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение объёма треугольной пирамиды, у которой противоположные рёбра попарно равны, а сумма длин всех рёбер равна $36\sqrt2$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В неправильной пирамиде $ABCD$ сумма плоских углов при вершине $A$ равна $180^\circ$. Найдите площадь поверхности этой пирамиды, если площадь грани $BCD$ равна $S$ и $AB=CD$, $AD=BC$.
Ответ:
Решение:
В неправильной пирамиде $ABCD$ суммы плоских углов при вершинах $A$ и $B$ одинаковы, суммы плоских углов при вершинах $C$ и $D$ тоже одинаковы, а сумма площадей граней $ABD$ и $ACD$ равна $S$. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Ответ:
Решение:
Первооткрыватель летел над джунглями на вертолёте и заметил забытый храм инков. Храм выстроен в форме правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями — сторона нижнего основания равна 2048 и. е., сторона верхней площадки равна 486 и. е. (и. е. — инкские единицы длины). Высоту храма путешественник измерить не сумел, поэтому посадил вертолёт на верхней площадке и начал спускаться по боковой поверхности пирамиды, начиная от угла. Спускался он не напрямую — склон для этого слишком крут — а наискосок, по линии, угол наклона которой к поверхности земли равен $45^\circ$. Когда он добирался до бокового ребра, он переходил через ребро и шёл по следующей грани, под таким же углом $45^\circ$ к поверхности земли. Он закончил спуск ровно у вершины нижнего основания пирамиды, насчитав по пути 5 сторон (иными словами, его путь выглядит как ломаная, и в этой ломаной получилось 5 отрезков). Какой высоты (в и. е.) был храм?
Ответ:
Решение:
Высота правильной треугольной пирамиды, проведённая из вершины основания к противоположной боковой грани, равна 4. Какие значения может принимать площадь полной поверхности такой пирамиды?
Ответ:
Решение:
Гора имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды с основанием $ABCD$ и вершиной $S$, причём длина ребра основания равна 13 км, а боковые грани наклонены к основанию под углом $\beta$ ($\cos\beta=0{,}6$). Скорость туриста на ровной поверхности составляет 4 км/ч, а при подъёме или спуске под углом $\alpha$ к горизонту равна $4\cos^2\alpha$ км/ч. Может ли турист, находящийся в точке $A$, успеть на автобус, отходящий ровно через 6 часов 15 минут из точки $C$, если в середине пути он обязательно делает 9-минутную остановку?
Ответ:
Решение:
Пять рёбер тетраэдра имеют длины 2, 4, 5, 9 и 13. Определите, может ли при этом длина шестого ребра:
а) равняться 11;
б) равняться 11,1.
а) равняться 11;
б) равняться 11,1.
Ответ:
Решение:
Боковые рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ взаимно перпендикулярны. Точка $D$ лежит на основании пирамиды $ABC$ на расстоянии $\sqrt5$ от ребра $SA$, на расстоянии $\sqrt{13}$ от ребра $SB$ и на расстоянии $\sqrt{10}$ от ребра $SC$. Какое наименьшее значение может иметь объём пирамиды $SABC$ при этих условиях?
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$ — точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
Даны две треугольные пирамиды с общим основанием $ABC$. Их вершины $S$ и $R$ лежат по разные стороны от плоскости $ABC$. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ суммы трёх плоских углов при каждой вершине равны $180^\circ$. Найдите объём тетраэдра, если $BC=4$, $\cos\angle BAC=3/4$, $\sin\angle CBD=5\sqrt7/16$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $12$, $\angle ADB=2\,\mathrm{arctg}(3/4)$. В треугольнике $ABD$ проведена биссектриса $BA_1$, а в треугольнике $BCD$ проведены медиана $BC_1$ и высота $CB_1$. Найти:
1) объем пирамиды $A_1B_1C_1D$;
2) площадь проекции треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$.
1) объем пирамиды $A_1B_1C_1D$;
2) площадь проекции треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$.
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамидка, все рёбра которой имеют длину 6 см, стоит на плоском столе. Пирамидку перекатывают по столу через рёбра 6 раз таким образом, что одна из её вершин всё время остаётся неподвижной, при этом два раза подряд через одно и то же ребро пирамидку не перекатывают. Найдите длину траектории, по которой за время этих перекатываний перемещается подвижная вершина пирамиды.
Ответ:
Решение: