Найти все значения $\alpha$, при которых векторы $\vec{a}=(\alpha, -4\alpha, 3)$ и $\vec{b}=(2\alpha, \alpha+1, 2)$ ортогональны.
Ответ:
Решение:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $A(3; 1; 0)$, $B(2; -1; 2\sqrt{5})$ и $C(-2; 1; 2\sqrt{5})$. Найти расстояние от точки $M(3; 6; \sqrt{5})$ до плоскости $(ABC)$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки пересечения этого перпендикуляра и плоскости $(ABC)$.
Ответ:
Решение:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $A(2; 1; 0)$, $B(-2; 4; 0)$ и $C(-3; 2; \sqrt{11})$. Найти расстояние от точки $M(5; 5; \sqrt{11})$ до плоскости $(ABC)$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки пересечения этого перпендикуляра с плоскостью $(ABC)$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$, на середине ребра $C_1D_1$ взята точка $K$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$, на ребре $C_1D_1$ взята точка $K$ так, что $D_1K:KC_1=2:1$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
Даны координаты точек: $A(1; 5; 0)$, $B(\alpha+1; 0; 1)$ и $C(\alpha+1; \alpha+5; -6)$. Найти все значения $\alpha$, при которых векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ ортогональны.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $DABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=1:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=1:3$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=1:4$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=3:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $DA$, $DB$ и $DC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KD=1:2$ и $BM:MD=CN:ND=1:1$. Точки $E$ и $F$ лежат на прямых $CM$ и $BK$ соответственно, причём $EF\parallel AN$. Найдите отношение $EF:AN$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между плоскостью $AA_1C$ и прямой $A_1B$, если $AA_1=9$, $AB=12$ и $BC=16$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AD=5$, $AB=16$, $AA_1=16$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $C_1D_1$. Точки $E$ и $F$ выбраны на рёбрах $CC_1$ и $DD_1$ так, что $C_1E=3$, $D_1F=11$. Какую наименьшую длину может иметь ломаная $APQ$, где точка $P$ лежит на прямой $MN$, а точка $Q$ лежит на прямой $EF$? В ответ запишите квадрат длины ломаной.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — начало трех отрезков $OA$, $OB$ и $OC$ лежащих в плоскости $P$ и имеющих длины $1$, $2$ и $3$ соответственно. На прямой $L$, проходящей через точку $O$ и перпендикулярной плоскости $P$, расположена точка $D$ так, что сумма углов, образуемых прямыми $DA$, $DB$ и $DC$ с прямой $L$, равна $180^\circ$. Найдите длину отрезка $OD$.
Ответ:
Решение:
Можно ли данный двугранный угол величиной $90^\circ$ пересечь плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол величиной $110^\circ$?
Ответ:
Решение:
Две смежные боковые грани пирамиды, в основании которой лежит квадрат, перпендикулярны плоскости основания. Двугранный угол между двумя другими боковыми гранями равен $\frac{2\pi}{3}$. Найдите отношение высоты пирамиды к стороне основания.
Ответ:
Решение:
Боковые ребра $TA$, $TB$ и $TC$ тетраэдра $TABC$ попарно перпендикулярны, $TH$ — высота тетраэдра, $\angle TAH=30^\circ$, $\angle TBH=45^\circ$, $BC=\sqrt6$. Точка $K$, лежащая в плоскости основания $ABC$, равноудалена от боковых граней тетраэдра $TABC$. Найдите $HK$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABC$ лежит треугольник $ABC$ со сторонами $AB=BC=3\sqrt2$ и $AC=2\sqrt6$. Высота пирамиды равна $\sqrt6$ и видна из вершин $A$ и $C$ под одним и тем же углом, равным $\arcsin\frac{1}{\sqrt3}$. Под каким углом она видна из вершины $B$?
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $TABCD$ является ромб $ABCD$. Высота пирамиды $TK$ равна $1$, точка $K$ лежит на прямой, содержащей диагональ основания $AC$, причем $KC=KA+AC$. Боковое ребро $TC$ равно $2\sqrt2$, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длину стороны основания и угол между боковым ребром $TA$ и плоскостью боковой грани $TCD$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $TABCD$ является ромб $ABCD$. Высота пирамиды $TK$ равна $5$, точка $K$ лежит на прямой, содержащей диагональ основания $AC$, причем $KC=KA+AC$. Боковое ребро $TC$ равно $6\sqrt5$, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длину стороны основания и угол между стороной основания $AB$ и боковой гранью $TBC$.
Ответ:
Решение: