Готовые варианты контрольных — за минуты

Два пирата делили добычу, состоящую из пяти золотых слитков, масса одного из которых $1$ кг, а другого — $2$ кг. Какую массу могли иметь три других слитка, если известно, что какие бы два слитка ни выбрал себе первый пират, второй пират сможет так разделить оставшиеся слитки, чтобы каждому из них досталось золота поровну?

Спутник связи движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$.
Для того, чтобы в центре управления полетами (ЦУП) можно было получать сигнал от спутника (иметь окно для связи), он должен находиться выше плоскости горизонта ЦУПа. Определите количество окон для связи ЦУПа со спутником в течение суток и общую продолжительность этих окон, если траектория полета спутника проходит ровно над ЦУПом.

Для получения фотоснимков небесных тел используются космические зонды — автономные роботы, оснащенные ракетными двигателями, собственными энергетическими установками, системами радиосвязи и навигации, научными приборами. И все это управляется бортовыми компьютерами. Например, благодаря таким зондам успешно выполнена программа исследования Сатурна и его крупнейшего спутника Титана, удивительно похожего на Землю. При изучении одного из спутников Сатурна с радиусом орбиты $R\approx 1{,}2\cdot10^5$ км возникла нештатная ситуация: при пролете зонда сквозь плоскость колец Сатурна бортовая поворотная платформа с телекамерами была заклинена частицами этих колец. В результате смогли получить четкие снимки только одной стороны спутника. Для получения снимков обратной стороны спутника было принято решение продолжить полет зонда и встретить спутник в другой точке пространства, для чего пришлось скорректировать скорость движения зонда.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Траекторию движения спутника (орбиту) вокруг Сатурна (точка $O$) считаем круговой с радиусом $R=1{,}2\cdot10^5$ км, скорость движения спутника постоянна и равна $V_T=3{,}27$ км/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1=6$ км/с, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $C$ и $D$. Согласно заложенной программе, съемка поверхности спутника зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой спутника (точки $C$ и $D$). Когда спутник (точка $S$) оказывается строго на прямой между центром Сатурна (точка $O$) и подзондовой точкой (точка $B$), запускается таймер ($t_0=0$). При этом спутник и подзондовая точка встречаются в точке $C$ через время $t=2\cdot10^4$ с. После съемки над точкой $C$ скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $D$ оказаться одновременно со спутником для фотографирования его обратной стороны. Скорость подзондовой точки на участке $CD$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и спутником (считая его материальной точкой) в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $CD$. В расчетах используйте приближенные значения скорости спутника и числа $\pi$ — округлите их до целых значений.

Астрономы обнаружили за планетой Сатурн новое небесное тело, движущееся по круговой орбите, для изучения которого был направлен научно-исследовательский зонд — автономный робот, оснащенный ракетными двигателями, собственной энергетической установкой, системами радиосвязи и навигации, научными приборами, фото- и видеотехникой. И все это управляется бортовыми компьютерами. Для изучения найденного объекта было принято решение произвести фотосъемку в двух точках его орбиты. После съемок в первой точке, потребовалось скорректировать скорость движения зонда, чтобы иметь возможность сделать еще один фотоснимок небесного тела в другой точке его орбиты.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Считаем изучаемый объект (небесное тело) и исследовательский зонд материальными точками, небесное тело движется по круговой орбите с центром в точке $O$ и радиусом $R=1{,}2\cdot10^6$ км с постоянной угловой скоростью $\omega=0{,}25\cdot10^{-5}$ рад/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1$, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $P$ и $K$. Согласно заложенной программе, съемка небесного тела зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой тела (точки $P$ и $K$). Когда небесное тело (точка $T$) оказывается строго на прямой между точкой $O$ и подзондовой точкой (точка $Z$), запускается таймер ($t_0=0$). В точке $P$ небесное тело и подзондовая точка находятся в одно и тоже время, и осуществляется съемка, после чего скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $K$ вновь оказаться одновременно с телом для его повторного фотографирования. Скорость подзондовой точки на участке $PK$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и изучаемым телом в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $PK$, если центральный угол $POK$ равен углу $PZO$ и в полтора раза меньше центрального угла $POT$. В расчетах используйте приближенное значение числа $\pi$ — округлите его до целого значения.

Сколько раз за сутки секундная и минутная стрелки часов образуют с часовой стрелкой угол в $30^\circ$? (сутки начинаются в полночь).

Петя распределяет сумму $63000$ рублей по трём инвестиционным проектам: в первом и втором указана доходность $3\%$ и $5\%$ годовых, а в третьем $6\%$ годовых соответственно. Известно, что только один из проектов принесёт указанную доходность, а два других лишь вернут изначально вложенную сумму. Известно также, что Петя распределил деньги таким образом, чтобы его гарантированный доход (тот, что он получит в наихудшем случае) был как можно большим. Какую сумму он при этом вложил в первый проект?

Компания владеет тремя заводами, производящими некоторые приборы. Затраты на поддержание заводов в рабочем состоянии везде одинаковы, а вот затраты непосредственно на производство продукции разные. Выпуск $q$ ($q\in\mathbb{N}$) приборов в месяц потребует на первом заводе $2q^2$ тыс.руб., на втором заводе $2q^2+2q$ тыс.руб., и на третьем $2q^2-q$ тыс.руб. Каждый завод может выпускать до $100$ приборов в месяц. Как нужно распределить производство продукции между заводами, чтобы за месяц выполнить с наименьшими затратами заказ на $250$ приборов?

Предприниматель Петров купил в Ростове несколько мешков картошки и продал их в Москве, получив на $90000$ рублей больше, чем потратил. На все вырученные деньги он снова купил в Ростове картошку и продал в Москве. На этот раз прибыль составила $120000$ рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку, если цены закупки и продажи мешка картошки не изменились?

Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил ещё 1 млн р., в результате чего его доля в общем деле увеличилась на 0,04, а когда он добавил ещё 1 млн р., его доля увеличилась ещё на 0,02. Сколько денег ему нужно добавить ещё, чтобы увеличить свою долю ещё на 0,04?

Однажды два друга вложили деньги в общее дело: каждый вложил свою сумму, а вместе — 1 млн руб. За ночь один из них вложил в то же дело дополнительную сумму. Сколько всего денег он вложил в итоге, если его новая доля в общем деле оказалась в 7 раз больше прежней, тогда как доля другого — в 3 раза меньше прежней?

В лесничестве организовали три пункта $A$, $B$, $C$ подкорма птиц на время зимних холодов. В силу особенностей их расположения в пункт $A$ прилетает больше всего птиц, а в пункт $C$ — меньше всего. Ежедневно на эти три пункта в сумме выделяется $S$ килограммов корма, который распределяется пропорционально количеству птиц, прилетевших в данный пункт накануне. Известно, что:

• 1 января количества птиц, прилетевших в три пункта, составили геометрическую прогрессию;
• 2 января в каждый из пунктов прилетело на $130$ птиц больше, чем 1 января;
• 2 января в пункт $C$ прилетело ровно в $3$ раза меньше птиц, чем в пункт $A$;
• 3 января в пункт $A$ выделили на $2{,}34$ кг меньше корма, чем 2 января;
• 3 января в пункт $C$ выделили на $1{,}56$ кг больше корма, чем 2 января.

Найдите $S$. Ответ укажите в килограммах.

Площади трёх земельных участков образуют геометрическую прогрессию. С трёх участков берётся налог общей суммы $S$, которая распределяется пропорционально площади участков. Площадь каждого участка увеличили на 13 гектаров, в результате чего площадь большего участка стала ровно в 2 раза больше площади меньшего. Если теперь налог той же суммы $S$ распределить по трём участками пропорционально их площади, то окажется, что с меньшего участка надо взять на 3,5 тысячи рублей больше налога, а с большего на 4 тысячи рублей меньше налога. Найдите первоначальную площадь наименьшего участка. Ответ укажите в гектарах.

Отец и сын катаются на коньках по кругу с постоянными скоростями. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в $9$ раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?

От автостанции в одном направлении выезжают два велосипедиста с интервалом в $2$ ч, причём скорость первого равна $30$ км/ч, а скорость второго — $20$ км/ч. Через $2$ ч после выезда второго велосипедиста из того же города выезжает мотоциклист и догоняет второго велосипедиста, а ещё через $3$ ч догоняет первого. Какова скорость мотоциклиста (в км/ч)?

Два велосипедиста выезжают навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми $240$ километров. Если первый выедет на $4{,}5$ часа раньше второго, то он встретит второго велосипедиста через $7{,}5$ часа после своего выезда. Если второй выедет на $1$ час раньше первого, то он встретит первого велосипедиста через $6$ часов после своего выезда. С какой скоростью (в км/ч) едет каждый велосипедист?

Два велосипедиста выезжают одновременно из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу. После их встречи первый прибывает в пункт $B$ через $16$ минут, а второй прибывает в пункт $A$ через $25$ минут. Сколько минут прошло от начала движения велосипедистов до их встречи?

«Жигули» и «Москвич» одновременно выехали из посёлка А в город Б. Через $15$ минут «Жигулям» оставалось доехать до города Б $40$ км, а «Москвичу» — $50$ км. Через сколько минут после «Жигулей» приехал в город Б «Москвич», если скорость «Москвича» составляет $60\%$ от скорости «Жигулей»?

Прогулочный теплоход вышел в 10:00 вниз по течению реки из пункта $A$ в пункт $B$. Прибыв в пункт $B$, он там простоял три часа и отправился обратно в пункт $A$, прибыв туда в 22:00. Найдите собственную скорость теплохода (в км/ч), если скорость течения равна $1{,}5$ км/ч, а расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $32{,}4$ км.

Два лыжника идут друг за другом с постоянной скоростью $6$ км/ч, расстояние между ними равно $200$ м. Лыжники поднялись на гору, спустились с неё и попали в рыхлый снег, где их скорость стала равна $3$ км/ч. Какое расстояние (в метрах) теперь будет между ними?

Через сколько секунд после того, как часы показывали $7$ часов, минутная стрелка догонит часовую? Ответ округлите до целого числа.