Сколько существует различных троек натуральных чисел $a$, $b$, $c$, для которых $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=\dfrac12$? (Тройки, отличающиеся порядком следования элементов, считаются различными.)
Ответ:
Решение:
Найти шесть ненулевых целых чисел, произведение которых не меняется, если из каждого них вычесть двойку.
Ответ:
Решение:
Рациональные числа $x$ и $y$ таковы, что их логарифмы $\log_{\sqrt{2}}x$ и $\log_{\sqrt[3]{3}}y$ также рациональны и их сумма равна 73. Найти $x$ и $y$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует таких прямоугольных треугольников $ABC$, что в них высота $CD$, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой $AB$ соотношением $2DC+2=AB$, отрезки $CD$, $AD$ и $BD$ имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы $AB$ лежит в промежутке $[10;1000]$?
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$, для которых $a+bc$, $b+ac$ и $b^2-a^2+21c^2$ — три последовательных натуральных числа, расположенных в порядке возрастания.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Назовём числа хорошими, если они представимы в виде $a(a+1)$, где $a\in\mathbb N$. Найдите количество пар хороших чисел, разность которых равна $81\cdot10^{2024}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих соотношению \[ \frac{7}{x}-\frac{6}{y}=\frac{1}{1008}. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие уравнению \[x^2(y-2)-x(13y-27)+44y-94=0.\]
Ответ:
Решение:
На доске написано несколько попарно различных натуральных чисел. Если самое маленькое увеличить в 32 раза, то сумма чисел на доске станет равной 477. Если же самое большое число увеличить в 14 раз, то сумма чисел на доске также станет равной 477. Какие числа могли быть написаны на доске?
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений $(x;y;z)$ уравнения $60^x\cdot\left(\frac{500}{3}\right)^y\cdot 360^z=2160$, удовлетворяющих условию $|x+y+z|\leqslant 60$.
Ответ:
Решение:
Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно $72^{612}$. Найдите количество таких прогрессий.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На Новый год Дед Мороз раздавал конфеты в детском саду. На праздник пришли $28$ мальчиков и $35$ девочек. Каждый мальчик получил одинаковое количество конфет, и каждая девочка получила одинаковое количество конфет. Оказалось, что существует единственный способ раздать конфеты подобным образом. Какое максимальное количество конфет могло быть у Деда Мороза?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ \begin{cases} ab+bc+ca+1{,}5(a+b+c)=7039,\\ 2abc-a-b-c=2008. \end{cases} \] Найдите наименьшее значение $a+b+c$.
Ответ:
Решение:
Два трёхзначных числа таковы, что сумма остальных трёхзначных чисел ровно в $770$ раз больше одного из них. Найдите наибольшее из этих чисел.
Ответ:
Решение:
Для всех натуральных значений $x$, $y$ решите уравнение \[ ax^2=12+8xy, \] где $a$ остаток от деления числа $2\cdot 49^{2025}+5\cdot 3^{2024}$ на 8. Если такая пара $(x;y)$ единственная, то в ответе укажите сумму $x+y$. Если таких пар $(x;y)$ несколько, то в ответе укажите сумму всех найденных значений $x$, $y$. Если решений нет укажите 0.
Ответ:
Решение: