Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен?
Ответ:
Решение:
По кругу лежали $n$ шариков, где $6\leqslant n\leqslant 100$. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 625. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде тысяч?
Ответ:
Решение:
Из натуральных чисел от 1 до 25 Даша выбрала шесть таких, что разность любых двух выбранных чисел кратна 4. Какое наибольшее количество простых чисел могла выбрать Даша?
Ответ:
Решение:
Петя случайно выбирает натуральное число $d$ от 1 до 5; вероятность выбрать каждое равна $\dfrac{1}{5}$. Затем Петя случайно выбирает натуральное число $a$ от 1 до 1300; вероятность выбрать каждое равна $\dfrac{1}{1300}$. Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом $a$ и разностью $d$ будет равен 1825.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число, которое в 9 раз больше своего остатка от деления на 1024.
Ответ:
Решение:
а) Натуральное число $n$ меньше 120. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
б) Натуральное число $n$ меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
б) Натуральное число $n$ меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
Ответ:
Решение:
Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие целые числа $p$ и $q$, что при любых целых значениях $x$ выражение $x^2+px+q$ кратно 3?
Ответ:
Решение:
В семиэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл тысячный домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло? Ответ объясните.
Ответ:
Решение:
На числовой прямой закрашивают красным и синим цветом точки с целыми координатами по следующим правилам: а) точки, разность координат которых равна 7, должны быть покрашены одним цветом; б) точки с координатами 20 и 14 должны быть покрашены красным, а точки с координатами 71 и 143 — синим. Сколькими способами можно раскрасить все целые числа, соблюдая эти правила?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В строку выписано 1999 натуральных чисел. Во вторую строку под каждыми двумя соседними числами выписали их наибольший общий делитель. Аналогичным образом получили третью, четвёртую и т. д. строки. Может ли 1000-я строка состоять из 1000 последовательных чисел в некотором порядке?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Множество $A$, составленное из натуральных чисел, таково, что для любого натурального числа $m$, не превосходящего $n$, во множестве $A$ есть число, делящееся на $m$. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех элементов множества $A$?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $n$, для которых существует такое чётное натуральное $a$, что число \[ (a-1)(a^2-1)\ldots(a^n-1) \] является точным квадратом.
Ответ:
Решение:
Найдите все перестановки $(a_1, a_2, \ldots, a_{2021})$ чисел 1, 2, $\ldots$, 2021 такие, что при любых натуральных $m$, $n$, удовлетворяющих условию $|m-n|\gt 20^{21}$, выполняется неравенство: \[ \sum_{i=1}^{2021}\text{НОД}(m+i, n+a_i)\lt 2|m-n|. \] (Перестановка $(a_1, a_2, \ldots, a_{2021})$ — это последовательность, в которой каждое из чисел 1, 2, $\ldots$, 2021 встречается ровно по одному разу.)
Ответ:
Решение:
Витя записал в тетрадь $n$ различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел из тетради он выписал на доску их наименьшее общее кратное. Могло ли при каком-то $n\gt 100$ случиться так, что $\dfrac{n(n-1)}{2}$ чисел на доске являются (в некотором порядке) последовательными членами непостоянной арифметической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Найдите все наборы натуральных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{20}$ такие, что \[ x_{i+2}^2=\text{НОК}(x_{i+1},x_i)+\text{НОК}(x_i,x_{i-1}) \] при $i=1, 2, \ldots, 20$, где $x_0=x_{20}$, $x_{21}=x_1$, $x_{22}=x_2$.
Ответ:
Решение:
Саша выбрал натуральное число $N\gt 1$ и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: $d_1\lt \ldots\lt d_s$ (так что $d_1=1$ и $d_s=N$). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных $s-1$ чисел оказалась равной $N-2$. Какие значения могло принимать $N$?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Натуральные числа $1, 2, \ldots, n$ выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех $n-1$ выписанных на листке чисел?
Ответ:
Решение: