В окружность вписан правильный $24000$-угольник $A_1A_2\ldots A_{24000}$. Вася начинает движение из точки $A_1$ и обходит окружность в направлении увеличения номеров вершин несколько раз. В процессе обхода он вычёркивает эти вершины: во время первого обхода вычёркиваются все $A_k$ с чётными номерами, во время второго — все те из оставшихся, номера которых делятся на три, на третий обход вычёркиваются те вершины, номера которых делятся на три, на третий обход вычёркиваются те вершины, номера которых делятся на четыре и так далее. Найдите номер вершины, которую Вася вычеркнет $16003$-ей.
Ответ:
Решение:
Доказать, что выражение $2\cdot6^n-25n^2+15n-2$ делится без остатка на $125$ при любом натуральном $n\gt 1$.
Ответ:
Решение:
Мастер работал с плиткой в форме прямоугольника $a\times b$, длины сторон которого $a$ и $b$ — целые числа, причем $1\lt \dfrac{b}{a}\lt 2$. Ему удалось, не разрезая плиток, уложить ею две прямоугольные стены размерами $70\times66$ и $102\times39$. Найти $a$ и $b$. Сколько плиток при этом было использовано?
Ответ:
Решение:
В тетради написаны $n$ целых чисел, упорядоченных по убыванию $a_1\gt a_2\gt \ldots\gt a_n$ и имеющих сумму $120$. Известно, что $k$-ое по порядку написанное число $a_k$, кроме последнего, полученного при $k=n$, в $(k+1)$ раз меньше суммы всех остальных написанных чисел. Найти максимальное число $n$, возможное при этих условиях. Найти эти числа для максимально возможного $n$.
Ответ:
Решение:
Длины ребер $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $b_1$, $b_2$, $b_3$ прямоугольных параллелепипедов $P_A$ и $P_B$ — целые числа. Если в параллелепипеде $P_A$ увеличить на $1$ длину одного из ребер $a_1$, $a_2$ или $a_3$, то отношение объемов $V_A:V_B$ изменится на $3$, $5$ или на $7$ единиц соответственно. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение отношения объемов $V_A:V_B$.
Ответ:
Решение:
Доказать, что сумма $1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac{1}{346}$ представляет собой дробь, числитель которой делится на $347$.
Ответ:
Решение:
Заданы 2014 натуральных чисел. Если выбрать из них любые 100 чисел, то среди них окажется хотя бы одно чётное число. Если выбрать из них любые 1916 чисел, то среди них окажется хотя бы одно нечётное число. Может ли сумма всех этих чисел равняться $2014\cdot2013$? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $N$ такое, что десятичная запись числа $999N$ состоит из одних семёрок.
Ответ:
Решение:
Написаны 2017 чисел. Известно, что сумма квадратов любых 7 из них равна 7, сумма любых 11 из них положительна, а сумма всех 2017 чисел делится на 9. Найдите эти числа.
Ответ:
Решение:
На сколько нулей оканчивается число \[ \Bigl(1\underbrace{00\ldots0}_{2017}1\Bigr)^{2017}-1\,? \]
Ответ:
Решение:
По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом $k$ стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число $k$?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, бо́льшие единицы, раскрасили в два цвета — синий и красный — так, что сумма любых двух синих (в том числе одинаковых) — синяя, а произведение любых двух красных (в том числе одинаковых) — красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число $1024$ покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число $2017$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр $0, 1, 2, \ldots, 9$ поровну?
Ответ:
Решение:
Все члены бесконечной геометрической прогрессии являются натуральными числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна $819\cdot6^{2016}$. Найдите знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Докажите, что при любых натуральных значениях $n$ число $5^n\left(2^{2n}-3^n\right)+2^n-7^n$ делится нацело на 65.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $x_n=n(n+1)$. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами $k$ и $l$ ($l\lt 350\lt k$) делится на $5^9$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $l+k$.
Ответ:
Решение:
Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить все натуральные числа от $1$ до $2025$ в ряд так, что для любого $k=1,2,\ldots,2025$ сумма первых $k$ чисел в этом ряду нацело делится на $k$-е число в ряду?
Ответ:
Решение: