Вася написал на доске натуральные числа $N$ и $N+1$. Он заметил, что сумма цифр каждого из этих чисел делится на 20. Оказалось, что $N$ — наименьшее число, для которого это условие выполняется. Найдите сумму цифр числа $N$.
Ответ:
Решение:
Пусть $\Pi(k)$ обозначает произведение всех цифр натурального числа $k$. Найдите наименьшее пятизначное число $n$ такое, что \[\Pi(n)=\Pi(n+1)=\Pi(n+2)\lt \Pi(n+3)=648.\]
Ответ:
Решение:
Даны 13 натуральных чисел, в записи которых встречается одна-единственная цифра (например, 7, 7, 777, 77, …). Сколько цифр использовано для записи всех 13 чисел, если известно, что сумма этих чисел равна $10\,278$?
Ответ:
Решение:
Сумма двух четырёхзначных чисел, не оканчивающихся на ноль, равна $3\,997$. Вася записывает оба данных числа в обратном порядке (например, если дано $3\,811$, то Вася запишет $1\,183$). Какова наибольшая возможная сумма чисел, записанных Васей?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число такое, что если из него вычесть сумму его цифр, то получится число $12\,357$.
Ответ:
Решение:
Десятичная запись натурального числа $n$ состоит из $40\,000$ девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа $n^3$?
Ответ:
Решение:
Произведение двух натуральных чисел $A$ и $B$ — это четырёхзначное число, у которого первая цифра совпадает с третьей, а вторая совпадает с четвёртой. Какое наибольшее произведение могут иметь числа $A$ и $B$, если известно, что $A+B$ меньше $195$?
Ответ:
Решение:
Петя написал пять последующих членов арифметической прогрессии и зашифровал их по принципу: каждую цифру заменил на букву, разным цифрам — разные буквы и наоборот. Вот что получилось: Д, БЕ, АФ, СС, ФА. Какие числа написал Петя?
Ответ:
Решение:
Расшифруйте ребус (разные буквы означают разные цифры) и найдите значение выражения в нижней строке:\[\begin{array}{ccccccc}\text{Л}&\times&\text{О}&=&\text{М}\\+&&:&&+\\\text{О}&\times&\text{Н}&=&\text{О}\\\shortparallel&&\shortparallel&&\shortparallel\\\text{С}&-&\text{О}&+&\text{В}&=&?\end{array}\]
Ответ:
Решение:
Миша выписал на доске подряд все натуральные числа от 7 до 2020. Пришла Маша и заменила каждое из этих чисел суммой его цифр. Пришёл Ваня и сделал то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось 2014 однозначных чисел (цифр). Какова сумма всех оставшихся чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите сумму цифр числа $A$, если $A=2^{63}\cdot4^{25}\cdot5^{106}-2^{22}\cdot4^{44}\cdot5^{105}-1$.
Ответ:
Решение:
Найдите все четырёхзначные натуральные числа $n$, обладающие свойством, что \[ \text{первые несколько цифр числа } n^2 \text{ образуют число } n. \] Если таких чисел несколько, в ответ запишите наименьшее из них, если таких чисел нет, в ответ запишите 0.
Ответ:
Решение:
Для нумерации всех парковочных мест на стоянке (подряд от первого до последнего) рядом с каждым местом был установлен его номер, составленный из табличек, на каждой из которых написано по одной цифре. В общей сложности было использовано 2148 табличек. Сколько мест на парковке? Каких цифр было использовано больше всего, а каких — меньше всего?
Ответ:
Решение:
Два брата родились в один день, но в разные годы. Оказалось, что в 2014 году каждому из них исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. Определите год рождения каждого из братьев.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число, не превосходящее 2015, такое, что при умножении на 5 сумма его цифр (в десятичной записи) не меняется.
Ответ:
Решение:
Найдите все четырёхзначные числа, которые на $7182$ меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке.
Ответ:
Решение:
Найдите все четырёхзначные числа, которые на $8802$ меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке.
Ответ:
Решение:
Найдите все такие трёхзначные числа $\overline{\text{ПВГ}}$, состоящие из различных цифр П, В и Г, для которых выполняется равенство \[ \overline{\text{ПВГ}}=(\text{П}+\text{В}+\text{Г})(\text{П}+\text{В}+\text{Г}+1). \]
Ответ:
Решение:
Найдите все такие трёхзначные числа $\overline{\text{МГУ}}$, состоящие из различных цифр М, Г и У, для которых выполняется равенство \[ \overline{\text{МГУ}}=(\text{М}+\text{Г}+\text{У})(\text{М}+\text{Г}+\text{У}-2). \]
Ответ:
Решение: