Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626 — палиндром, а 2015 — нет). Представьте число 2015 в виде суммы двух палиндромов.
Ответ:
Решение:
Аня перемножила 20 двоек, а Ваня перемножил 17 пятёрок. Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет сумма цифр произведения?
Ответ:
Решение:
В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на 3, вторую — на 2, третью — на 1. В итоге число увеличилось в 4 раза. Приведите пример такого исходного числа.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Алла загадала трёхзначное число, в котором нет цифры 0, и все цифры различны. Белла записала число, в котором те же цифры идут в обратном порядке. Галя вычла из большего числа меньшее. Какая цифра стоит у полученной разности в разряде десятков?
Ответ:
Решение:
Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру 1, а справа — цифру 8, отчего число увеличилось в 28 раз. Какое число мог загадать Вася? (Найдите все варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В тетради Оли 100 страниц, девочка решила пронумеровать их по порядку. Но ей не нравилась цифра 1, поэтому она решила не использовать числа, которые содержат в своей записи эту цифру. Таким образом, на первой странице она написала 2, на второй — 3, …, на восьмой — 9, на девятой — 20 и так далее. Каким числом Оля пронумеровала последнюю страницу?
Ответ:
Решение:
Назовите максимальное натуральное число $n\gt 100$ такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 112 раз?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, сумма цифр в записи которых делится на 5, выписывают в порядке возрастания: 5, 14, 19, 23, 28, 32, … Чему равна самая маленькая положительная разность между соседними числами в этом ряду? Приведите пример и объясните, почему меньше быть не может.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Последняя цифра в записи натурального числа в 2016 раз меньше самого числа. Найдите все такие числа.
Ответ:
Решение:
Лёша не поленился вычислить сумму \[ 9+99+999+\ldots+\underbrace{9\ldots9}_{2017} \] и выписать её на доску. Сколько раз в итоговом результате записана цифра 1?
Ответ:
Решение:
Маша написала на доске трёхзначное число, а Вера написала рядом такое же число, но перепутала две последние цифры местами. После этого Полина сложила полученные числа и получила четырёхзначную сумму, первые три цифры которой 195. Какова последняя цифра этой суммы? (Ответ нужно обосновать.)
Ответ:
Решение:
Четырёхзначное число называется восхитительным, если оно само делится на 25, его сумма цифр делится на 25 и его произведение цифр делится на 25. Найдите все восхитительные числа.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее 12-значное число $N$, удовлетворяющее двум следующим условиям:
- В десятичной записи числа $N$ шесть цифр «4» и шесть цифр «7»;
- В десятичной записи числа $N$ никакие четыре подряд идущие цифры не образуют число «7444».
Ответ:
Решение:
Малыши Коля и Маша учатся считать. В первую секунду Коля назвал число 1, во вторую — 2, в третью — 3 и т. д. Если Маше нравится число, названное Колей, то она записывает его себе в тетрадь, в конец текущей строки (одно число за другим, без пробелов и запятых). Спустя $n$ секунд у Маши в тетради оказалось записано
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3.
Какое наименьшее значение может принимать $n$?
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3.
Какое наименьшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее восьмизначное число, удовлетворяющее двум условиям:
- У него любые три подряд идущие цифры различны;
- У него произведение любых трёх подряд идущих цифр делится на 20.
Ответ:
Решение:
Четырёхзначное число $N$ состоит из ненулевых цифр, сумма которых равна 20. Известно, что сумма третьей и четвёртой цифры числа $N$ делится на его вторую цифру (нумерация цифр начинается слева).
1. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $N$?
1. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $N$?
Ответ:
Решение: