Рассмотрим 450 чисел, состоящих из одних девяток: \[9,\ 99,\ 999,\ \ldots,\ \underbrace{99\ldots9}_{450}.\] Сколько единиц в десятичной записи суммы этих 450 чисел?
Ответ:
Решение:
Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое максимальное число мог написать Петя?
Ответ:
Решение:
Катя написала на доске натуральное число. За один ход она может взять две подряд идущие цифры этого числа, произведение которых является двузначным числом, и заменить их на это произведение.
Например, если бы число Кати было равно 1358, то она могла бы получить за один ход из него 1158 или 1340.
Известно, что после того как Катя произвела 3 операции со своим числом, она получила число 2345.
1. Какое число Катя могла написать изначально? Приведите один пример.
2. Укажите в любом порядке все числа, которые могли быть у Кати изначально.
Например, если бы число Кати было равно 1358, то она могла бы получить за один ход из него 1158 или 1340.
Известно, что после того как Катя произвела 3 операции со своим числом, она получила число 2345.
1. Какое число Катя могла написать изначально? Приведите один пример.
2. Укажите в любом порядке все числа, которые могли быть у Кати изначально.
Ответ:
Решение:
Петя взял все натуральные числа от 1 до 2025, возвёл их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа $99!$ так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2?
Ответ:
Решение:
Найдите хотя бы одно четырёхзначное число, обладающее следующим свойством: если сумму всех цифр этого числа умножить на произведение всех его цифр, то в результате получится 3990.
Ответ:
Решение:
Ирина выписала на доску в ряд некоторые целые числа от 0 до 999. В итоге получилось длинное число. Полина записала на свою часть доски все оставшиеся целые числа из этого же диапазона, в итоге получилось второе длинное число. Могли ли эти два длинных числа совпасть?
Ответ:
Решение:
Ваня выписал в ряд без пропусков друг за другом все натуральные числа от 1 до $N$ в следующем порядке: \[1\quad N\quad 2\quad N-1\quad 3\quad N-2\quad \ldots\] Например, при $N=5$ получилось бы 15243, а при $N=10$ получилось бы 11029384756. При каком наименьшем $N$ в такой записи встретится последовательность цифр 301?
Ответ:
Решение:
Натуральное число назовём счастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы $n$ слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Ответ:
Решение:
Знакопеременная сумма цифр числа — это его сумма цифр, в которой у каждой следующей цифры стоит знак, противоположный знаку у предыдущей цифры. Например,
- у числа 123 знакопеременная сумма цифр равна $1-2+3=2$;
- у числа 12 знакопеременная сумма цифр равна $1-2=-1$;
- у числа 1 знакопеременная сумма цифр равна 1.
Ответ:
Решение:
Натуральное число назовём хорошим, если для него выполняются все следующие условия:
- в его десятичной записи все цифры ненулевые;
- сумма его цифр равна 32;
- любая его цифра, кроме последних двух, является делителем суммы следующих за ней двух цифр.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму цифр числа \[3\cdot{\underbrace{33\ldots3}_{100}}^3+2\cdot{\underbrace{11\ldots1}_{100}}^2+{\underbrace{55\ldots5}_{100}}^2+\underbrace{33\ldots3}_{100}.\]
Ответ:
Решение:
Петя выписал на доску выражение $1+2+\ldots+1000$. Его младший брат Вася в каждом числе вставил между всеми соседними цифрами знак умножения. Например, число 547 превратилось в $5\cdot 4\cdot 7$. Чему равно значение полученного выражения?
Ответ:
Решение:
У Пети есть натуральное число $N$. Он рассматривает все пары цифр числа $N$, одна из которых чётная, а другая нечётная, и записывает на доску произведение цифр в каждой паре. Например, если бы у него было число 2338, то на доске были бы записаны числа 6, 6, 24 и 24. Оказалось, что сумма чисел на доске равна 26. Какое минимальное $N$ могло быть у Пети?
Ответ:
Решение:
Можно ли число 240 представить в виде суммы девяти двузначных чисел (среди которых могут быть и одинаковые), в десятичной записи каждого из которых есть девятка?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
Ответ:
Решение:
На бесконечной ленте выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр 2018. Какое число написано на 225-м месте?
Ответ:
Решение:
У натурального числа $N$ выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось, что среди этих сумм нашлись все числа от 1 до 9. Найдите наименьшее значение $N$.
Ответ:
Решение:
Произведение цифр натурального числа $n$ равно $x$, а произведение цифр числа $n+1$ равно $y$. Может ли так случиться, что произведение цифр некоторого натурального числа $m$ равно $y-1$, а произведение цифр числа $m+1$ равно $x-1$?
Ответ:
Решение:
Петя взял некоторые трехзначные натуральные числа $a_0$, $a_1$, …, $a_9$ и написал на доске уравнение \[ a_9x^9+a_8x^8+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0=*. \] Докажите, что Вася сможет вместо звездочки написать некоторое 30-значное натуральное число так, чтобы получившееся уравнение имело целый корень.
Ответ:
Решение: