В начале года каждому из 150 бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от 1 до 150. В течение года было проведено 149 поединков: первого со вторым, второго с третьим, …, 149-го со 150-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными 17, и все бойцы с номерами кратными 20?
Ответ:
Решение:
На доске написаны пять натуральных чисел. Оказалось, что сумма любых трёх из них делится на каждое из остальных. Обязательно ли среди этих чисел найдутся четыре равных?
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник периметра $10^{100}$, у которого длины всех сторон — натуральные числа, а сумма длин любых трёх сторон делится на длину оставшейся четвёртой стороны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Ответ:
Решение:
На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число $N$. Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел?
Ответ:
Решение:
На доске написали 10 натуральных чисел. Если отметить любые три из написанных чисел, то сумма всех трёх будет делиться на два числа из этой тройки. Докажите, что среди написанных чисел есть равные.
Ответ:
Решение:
Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел такая, что для любого натурального $k$ сумма любых $k$ идущих подряд членов этой последовательности делится на $k+1$?
Ответ:
Решение:
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?
Ответ:
Решение:
Пусть $S$ — множество, состоящее из натуральных чисел. Оказалось, что для любого числа $a$ из множества $S$ существуют два числа $b$ и $c$ из множества $S$ такие, что $a=\dfrac{b(3c-5)}{15}$. Докажите, что множество $S$ бесконечно.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число $n$, для которого произведение чисел $n$, $n+1$, $n+2$, …, $n+20$ делится на квадрат какого-то одного из них.
Ответ:
Решение:
Пусть $p$ и $q$ — различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из чисел $p^{23}$, $p^{24}$, $q^{23}$ и $q^{24}$. Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа $p$ и $q$.
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, что для каких-то трёх его делителей $a, b, c$, больших 1, произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$ делится на $n^2$?
Ответ:
Решение:
Приведите пример шести различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них не делится на сумму всех чисел, а произведение любых трёх из них — делится.
Ответ:
Решение:
Дано нечётное число $n\gt 10$. Найдите количество способов расставить по кругу в некотором порядке натуральные числа $1, 2, 3, \ldots, n$ так, чтобы каждое число являлось делителем суммы двух соседних с ним чисел. (Способы, отличающиеся поворотом или отражением, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — натуральное число. Целое число $a\gt 2$ назовем $n$-разложимым, если $a^n-2^n$ делится на каждое число вида $a^d+2^d$, где $d$ — натуральный делитель $n$, отличный от $n$. Найдите все составные натуральные $n$, для которых существует $n$-разложимое число.
Ответ:
Решение:
Даны натуральные $a$, $b$, $c$ такие, что $a\gt 1$, $b\gt c\gt 1$, а число $abc+1$ делится на $ab-b+1$. Докажите, что $b$ делится на $a$.
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$, $b$ и $c$. Ни одно из них не кратно другому. Известно, что число $abc+1$ делится на $ab-b+1$. Докажите, что $c\geqslant b$.
Ответ:
Решение:
Назовем натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и $117=3\cdot3\cdot13$ — однобокие, а число $682=2\cdot11\cdot31$ — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025, состоящая из 150 натуральных чисел, каждое из которых — однобокое?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$, большие 2022, таковы, что $a+b$ делится на $c-2022$, $a+c$ делится на $b-2022$, $b+c$ делится на $a-2022$. Какое наибольшее значение может принимать число $a+b+c$?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что число $(ab+a+1)(bc+b+1)(ca+c+1)$ делится на $abc+1$. Может ли их частное быть квадратом простого числа?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: