Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=8$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=40$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=16$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=18$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Вычислите $(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)$, если $\sin(\alpha+\beta)=0{,}8$ и $\cos(\alpha-\beta)=0{,}3$.
Ответ:
Решение:
Вычислите $\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x$, если $\operatorname{tg}x-\operatorname{ctg}x=-3$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\sin x=2\cos y-\dfrac52\sin y$, $\cos x=2\sin y-\dfrac52\cos y$. Найдите $\sin2y$.
Ответ:
Решение:
Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?
Ответ:
Решение:
Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)-\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \cos^4\dfrac{5\pi}{24}+\cos^4\dfrac{11\pi}{24}+\sin^4\dfrac{13\pi}{24}+\sin^4\dfrac{19\pi}{24}. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}(2\alpha-\beta)+6\operatorname{tg}2\alpha+\operatorname{tg}\beta=0$ и $\operatorname{tg}\alpha=2$. Найдите $\operatorname{ctg}\beta$.
Ответ:
Решение:
Углы $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют равенствам \[ \sin(2\alpha+2\beta)=-\frac1{\sqrt5};\quad \sin(2\alpha+4\beta)+\sin 2\alpha=-\frac45. \] Найдите все возможные значения $\operatorname{tg}\alpha$, если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\cos\alpha-\sin\beta=\frac14$, $\cos 3\alpha+\sin 3\beta=-\frac{11}{16}$. Найдите наибольшее значение выражения $\cos^2\alpha+\sin^2\beta$.
Ответ:
Решение:
Про вещественное число $x$ известно, что \[ \sin x+1001\cos x=1000. \] Найдите максимальное значение выражения $|1001\sin x-\cos x|$. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Вычислить значение $\cos^2 2x$ для всех допустимых значений $x$, если \[ \mathrm{tg}^4x-4\,\mathrm{tg}^2x+1=0. \]
Ответ:
Решение:
Выясните, какое из чисел больше: \[\operatorname{arctg}\left(1+\sqrt2\right)+\operatorname{arcctg}\left(1-\sqrt2\right)\quad\text{или}\quad\frac{7\sqrt3}{4}\,.\]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \left(\arcsin\frac35-\arccos\frac45\right)\cdot x+\pi=2\operatorname{arctg}3+\operatorname{arctg}\frac34. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что числа $x$, $y$, $z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $\alpha=\arccos\left(-\dfrac25\right)$, а числа $3+\sin x$, $3+\sin y$, $3+\sin z$ образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $\sin y$.
Ответ:
Решение:
Известно, что числа $x$, $y$, $z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $\alpha=\arccos\left(-\dfrac37\right)$, а числа $\dfrac{1}{\cos x}$, $\dfrac{7}{\cos y}$, $\dfrac{1}{\cos z}$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $\cos^2 y$.
Ответ:
Решение: