Каково расстояние между ближайшими друг к другу корнями уравнения \[ \sin(\pi x)=\sin(3x^\circ)? \]
Ответ:
Решение:
Определите, при каких значениях $n$ и $k$ уравнение \[ \sin x+\sin y=\dfrac{\pi k}{2017} \] является следствием уравнения \[ x+y=\dfrac{\pi n}{48}. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
При каких целых положительных $n$ уравнение $\sin x\cdot\sin 2x\cdot\sin 3x\cdot\ldots\cdot\sin nx=0$ имеет не менее десяти решений на отрезке $[0;\pi/4]$?
Ответ:
Решение:
Найти номера $n\geqslant 1$ членов арифметической прогрессии $a_n=\frac{5n+2}{3}$, являющихся решениями уравнения $\sqrt{10}\cos(\pi a_n)=\sqrt{4\cos(\pi a_n)-\cos(2\pi a_n)}$.
Ответ:
Решение:
Целое число $n$ таково, что $\cos\dfrac{(2n^2+n+1)\pi}{2}=1$, а уравнение $\sin x\cdot\sin 5x\cdot\sin nx=1$ имеет решение. Найти все такие $n$.
Ответ:
Решение:
При каких целых $n$ выражение $6\sin\dfrac{5\pi n}{12}+\sin\dfrac{5\pi n}{4}$ принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что \[ (\sin\pi x+\sin\pi y)\sin\pi x=(\cos\pi x+\cos\pi y)\cos\pi x. \]
б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству \[ \arcsin\dfrac{x}{5}+\arccos\dfrac{y}{4}\lt \dfrac{3\pi}{2}? \]
б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству \[ \arcsin\dfrac{x}{5}+\arccos\dfrac{y}{4}\lt \dfrac{3\pi}{2}? \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений системы неравенств \[ \begin{cases} (x-0{,}3)^2\leqslant 440,\\ \sin x\geqslant 0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняется равенство \[ \sin\left(n^\circ+80^\circ\right)+\sin\left(n^\circ-40^\circ\right)+\sin\left(n^\circ+70^\circ\right)-\cos25^\circ=0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \left|\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|=-\sqrt2\cos y,\\ \cos2y+2\sin2x+\dfrac34=2\sin^32x. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение $|x-y|$ при условии \[ \left(\cos^4 x+1\right)\left(4\cos^4 y+1\right)=8\cos^3 x\cos^2 y,\quad x\in[\pi;2\pi],\quad y\in\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]. \]
Ответ:
Решение:
Найдите сумму первых ста положительных корней уравнения \[ \cos(8\pi x)+2\cos(4\pi x)-\cos(2\pi x)+2\sin(\pi x)+3=0. \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[\begin{cases}4\cos^2x+\cos^25y=4\cos x\cos^65y,\\ \lg(x-y)^2\lt 2\lg(2\pi)-\lg5-\lg45.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
При каком значении $a$ уравнение $|\sin(2x-y)|+|\cos(x+2y)|+1=\frac{2a}{a^2+1}$ имеет решение? Найти эти решения. Найти минимальное $R$, при котором любой круг радиуса $R$ на плоскости содержит хотя бы одну точку с координатами $(x;y)$ — решениями уравнения.
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\left(\sqrt3\cos 2x+\sin 2x\right)^2=7+3\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right).\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: