Найдите корни уравнения \[ \log_2|\mathrm{tg}\,\pi x|+\log_4\dfrac{\cos\pi x}{2\cos\pi x+\sin\pi x}=0, \] принадлежащие отрезку $\left[\dfrac94;3\right]$.
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}3^{x+y+1}+7\cdot 3^{y-2}=8,\\ \sqrt{x+y^2}=x+y.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \log_2(4\cos x+3)\log_6(4\cos x+3)=\log_2(4\cos x+3)+\log_6(4\cos x+3). \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\sin2x}+\dfrac{1}{\sin3x}=\dfrac{1}{\sin x+\sin2x+\sin3x} \] при условии, что $\sin x\gt 0$.
Ответ:
Решение:
Найти на интервале $(0;2\pi)$ наибольшее решение уравнения \[ (\sin x+\sin 2x+\sin 3x)^3=\sin^3 x+\sin^3 2x+\sin^3 3x. \]
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение функции $y=24\pi x/(9\pi^2+16x^2)$ на множестве решений уравнения $\sin x\cdot\cos 2x-2\cos^3 x+\cos 2x-\sin x+2\cos x=1$.
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}(2x-y)^2=4+z^2,\\ (z-y)^2=2+4x^2,\\ (z+2x)^2=3+y^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}x^3+y^3-z^3-xyz+11=0,\\ x^3-y^3+z^3-xyz-21=0,\\ y^3+z^3-x^3-xyz-3=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}5x-6y+4z+xy=0,\\ 3x-5y+z-y^2=0,\\ x-4y-2z-yz=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} 2x-3y+\dfrac{1}{xy}=6,\\ 3z-6x+\dfrac{1}{xz}=2,\\ 6y-2z+\dfrac{1}{yz}=3. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество точек на координатной плоскости, через которые проходит как кривая $(4x^3-3x)^{15}=1-(4y^3-3y)^{16}$, так и кривая $x^2=1-y^2$.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[\begin{cases} x^2-2xy+y^3-3y^2-1=0,\\ 2x-xy-y^3+5y^2-3y+2=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$ и $z$ не все равны между собой, и при этом \[ x^3+\frac{7}{y^3}=y^3+\frac{7}{z^3}=z^3+\frac{7}{x^3}. \] Найдите минимально возможное значение произведения $xyz$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ не все равны между собой, и при этом \[a+\dfrac5b=b+\dfrac5c=c+\dfrac5a.\] Найдите минимально возможное значение произведения $abc$.
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} |x-3-y|+|x-3+y|\leqslant6,\\ (|x|-3)^2+(|y|-4)^2=25. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2-y^2=2x+4y-3z,\\ y^2-z^2=x-3y+4z,\\ z^2-x^2=-3x+y-5z. \end{cases} \]
Ответ:
Решение: