Найдите все такие пары целых чисел $m$ и $n\gt 2$, что \[ \bigl((n-1)!-n\bigr)\cdot(n-2)!=m(m-2). \] Напомним, что $k!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot k$ — произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон $a$, $b$ и $c$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $ab+1$, $bc+1$ и $ca+1$ не является полным квадратом.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что для некоторого натурального числа $a$, большего 500 000, и некоторого натурального числа $b$ выполнено равенство \[ \frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}. \]
Ответ:
Решение:
На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа?
Ответ:
Решение: