Сколько пар $(x;y)$ целых чисел, являющихся решениями уравнения $7x-5y=23$, удовлетворяют неравенству $x^2+y^2\leqslant 37$? Найти пару $(x;y)$, для которой $x+y$ наибольшее.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите пару натуральных чисел $x$ и $a$, удовлетворяющих условию \[ x^2+2x+21=a^2. \] В ответ выпишите их сумму.
Ответ:
Решение:
Целые числа $m$ и $n$ таковы, что $4m+5n=mn-9$. Найдите, какое наибольшее значение может принимать $m$.
Ответ:
Решение:
Семь натуральных чисел выписаны в ряд. Каждое число, начиная с третьего, равняется сумме двух предыдущих чисел. Какое максимально возможное значение может принимать первое число, если последнее равняется $2012$?
Ответ:
Решение:
В классе $13$ мальчиков и $16$ девочек. К Новому Году учительница раздала ребятам конфеты (каждому хотя бы по одной), причём всем мальчикам досталось поровну конфет, и всем девочкам досталось поровну конфет. Оказалось, что существует лишь один способ раздачи (так, чтобы раздать все конфеты). Какое наибольшее число конфет могло быть у учительницы?
Ответ:
Решение:
Найдите количество точек плоскости $xOy$, имеющих натуральные координаты $x$, $y$ и лежащих на параболе $y=-\dfrac{x^2}{4}+9x+19$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество точек плоскости $xOy$, имеющих натуральные координаты $x$, $y$ и лежащих на параболе $y=-\dfrac{x^2}{3}+20x+63$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество точек плоскости $xOy$, имеющих натуральные координаты $x$, $y$ и лежащих на параболе $y=-\dfrac{x^2}{9}+33$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует пар натуральных чисел $x\gt y$ таких, что их произведение на $19999$ больше их суммы?
Ответ:
Решение:
Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно $40^{612}$. Найдите количество таких прогрессий.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений $(a;b;c)$ уравнения $150^a\cdot\left(\frac{200}{3}\right)^b\cdot 2250^c=15000$, удовлетворяющих условию $|a+b+c|\leqslant 250$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений $(a;b;c)$ уравнения $27^a\cdot75^b\cdot5^c=1875$, удовлетворяющих условию $|a+b+c|\leqslant111$.
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенству $x\sqrt8+y\sqrt{18}+z\sqrt{29}=\sqrt{32}+\sqrt{116}$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $x^2-y^2+z^2$.
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенству $x\ln 16+y\ln 8+z\ln 24=\ln 6$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $x^2+y^2+z^2$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сколько пар целых чисел $(x;y)$ удовлетворяет уравнению \[ \sqrt{3x}+\sqrt{2y}=\sqrt{2024^2\cdot\sqrt{2025}}? \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям:
- число нечётное, но не является простым,
- оно может быть представлено в виде суммы таких двух натуральных чисел, что если одно из этих чисел увеличить в $178$ раз, а другое — уменьшить в $178$ раз, их сумма не изменится.
Ответ:
Решение:
Найти целые положительные делители $x$ и $y$ числа 1232, удовлетворяющие уравнению \[ 5x-3y+13=0. \]
Ответ:
Решение: