Ваня в вершинах квадрата записал четыре натуральных числа, затем он возле каждой стороны записал произведение чисел в её концах. Проходящей мимо Ксюше Ваня сообщил, что сумма этих произведений равна 143. Ксюша, не смотря на рисунок Вани, немного подумала и назвала сумму чисел в вершинах, с чем Ваня согласился. Какое число назвала Ксюша? Дать обоснованный ответ.
Ответ:
Решение:
Монолитный блок типа $A$ весит 17 кг, а монолитный блок типа $B$ — 7 кг. Можно ли из этих блоков сформировать груз, равный максимальной грузоподъемности крана, которая составляет 317 кг? Если да, то какое наибольшее количество блоков при этом будет поднимать кран?
Ответ:
Решение:
Существует ли натуральное число, квадрат которого равен сумме пяти попарно различных квадратов целых чисел, таких, что среди них есть число $7^2$?
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ a^2+2=b!, \] при условии, что $a,b$ принадлежит $\mathbb N$. В ответе указать сумму произведения всех возможных $a$ и произведения всех возможных $b$ (если уравнение не имеет решений, в ответе укажите 0, если бесконечно много решений, укажите 1000).
Ответ:
Решение:
Сколько решений в целых числах имеет уравнение \[ \sqrt{7x}+17\sqrt{y}=z\sqrt{2023}, \] если $z\leqslant10$?
Ответ:
Решение:
Для всех натуральных значений $x$, $y$ решите уравнение \[ ax^2=12+8xy, \] где $a$ остаток от деления числа $2\cdot 49^{2025}+5\cdot 3^{2024}$ на 8. Если такая пара $(x;y)$ единственная, то в ответе укажите сумму $x+y$. Если таких пар $(x;y)$ несколько, то в ответе укажите сумму всех найденных значений $x$, $y$. Если решений нет укажите 0.
Ответ:
Решение:
Два трёхзначных числа таковы, что сумма остальных трёхзначных чисел ровно в $770$ раз больше одного из них. Найдите наибольшее из этих чисел.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ \begin{cases} ab+bc+ca+1{,}5(a+b+c)=7039,\\ 2abc-a-b-c=2008. \end{cases} \] Найдите наименьшее значение $a+b+c$.
Ответ:
Решение:
На Новый год Дед Мороз раздавал конфеты в детском саду. На праздник пришли $28$ мальчиков и $35$ девочек. Каждый мальчик получил одинаковое количество конфет, и каждая девочка получила одинаковое количество конфет. Оказалось, что существует единственный способ раздать конфеты подобным образом. Какое максимальное количество конфет могло быть у Деда Мороза?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно $72^{612}$. Найдите количество таких прогрессий.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений $(x;y;z)$ уравнения $60^x\cdot\left(\frac{500}{3}\right)^y\cdot 360^z=2160$, удовлетворяющих условию $|x+y+z|\leqslant 60$.
Ответ:
Решение:
На доске написано несколько попарно различных натуральных чисел. Если самое маленькое увеличить в 32 раза, то сумма чисел на доске станет равной 477. Если же самое большое число увеличить в 14 раз, то сумма чисел на доске также станет равной 477. Какие числа могли быть написаны на доске?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие уравнению \[x^2(y-2)-x(13y-27)+44y-94=0.\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих соотношению \[ \frac{7}{x}-\frac{6}{y}=\frac{1}{1008}. \]
Ответ:
Решение:
Назовём числа хорошими, если они представимы в виде $a(a+1)$, где $a\in\mathbb N$. Найдите количество пар хороших чисел, разность которых равна $81\cdot10^{2024}$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$, для которых $a+bc$, $b+ac$ и $b^2-a^2+21c^2$ — три последовательных натуральных числа, расположенных в порядке возрастания.
Ответ:
Решение: