Если симметричную монету бросили $n$ раз, и орёл выпал $m$ раз, то $\frac{m}{n}$ называется частотой выпадения орла. Число $\frac{m}{n}-0{,}5$ называется отклонением частоты от вероятности, а число $\left|\frac{m}{n}-0{,}5\right|$ называется абсолютным отклонением. Например, если монету бросили 5 раз, и два раза выпал орёл, то отклонение равно $0{,}4-0{,}5=-0{,}1$, а абсолютное отклонение равно $|-0{,}1|=0{,}1$. Заметим, что отклонение и абсолютное отклонение являются случайными величинами.
Эксперимент состоит из двух частей: сначала монету бросают 10 раз, а потом — 100 раз. В каком из этих случаев больше математическое ожидание абсолютного отклонения частоты выпадения орла от вероятности?
Эксперимент состоит из двух частей: сначала монету бросают 10 раз, а потом — 100 раз. В каком из этих случаев больше математическое ожидание абсолютного отклонения частоты выпадения орла от вероятности?
Ответ:
Решение:
Иван Семёнов выполняет тест ЕГЭ по математике. Экзамен состоит из заданий трех типов: А, В и С. К каждому из заданий типа А даны на выбор четыре варианта ответа, только один из которых верный. Всего таких заданий 10. Задания типа В и С требуют развернутого ответа. Так как Ваня постоянно прогуливал, его познания в математике неглубоки. Задания типа А он выполняет, выбирая ответы наугад. Первое из заданий типа В Ваня решает с вероятностью $\frac{1}{3}$. Больше ничего Иван сделать не может. За правильный ответ на одно задание типа А ставится 1 балл, за задание типа В — 2 балла. С какой вероятностью Ваня наберёт больше 5 баллов?
Возьмите задания типа А из пробного варианта ЕГЭ 2008 года (http://ege.edu.ru/demo/math.zip) и проведите 10 раз эксперимент по случайному выбору ответов. Сравните результат с полученным теоретически (для 5 правильных ответов). Убедитесь, что результаты не сильно отличаются.
Возьмите задания типа А из пробного варианта ЕГЭ 2008 года (http://ege.edu.ru/demo/math.zip) и проведите 10 раз эксперимент по случайному выбору ответов. Сравните результат с полученным теоретически (для 5 правильных ответов). Убедитесь, что результаты не сильно отличаются.
Ответ:
Решение:
А и Б стреляют в тире, но у них есть только один шестизарядный револьвер с одним патроном. Поэтому они договорились по очереди случайным образом крутить барабан и стрелять. Начинает А. Найдите вероятность того, что выстрел произойдет, когда револьвер будет у А.
Ответ:
Решение:
Вероятность того, что купленная лампочка будет работать, равна $0{,}95$. Сколько нужно купить лампочек, чтобы с вероятностью $0{,}99$ среди них было не менее 5 работающих?
Ответ:
Решение:
Знатоки и Телезрители играют в «Что? Где? Когда?» до шести побед — кто первый выиграл шесть раундов, тот и победил в игре. Вероятность выигрыша Знатоков в одном раунде равна 0,6, ничьих не бывает. Сейчас Знатоки проигрывают со счетом $3:4$. Найдите вероятность того, что Знатоки все же выиграют.
Ответ:
Решение:
В Анчурии проходит единый государственный экзамен. Вероятность угадать верный ответ на каждый вопрос экзамена равна 0,25.
В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на 3 вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что 3 вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на 6 вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше — в 2011 или в 2012?
В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на 3 вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что 3 вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на 6 вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше — в 2011 или в 2012?
Ответ:
Решение:
Каждый день пёс Патрик сгрызает одну тапочку из имеющегося дома запаса. Строго с вероятностью 0,5 Патрик хочет сгрызть левую тапочку, и с вероятностью 0,5 — правую. Если желаемой тапочки нет, Патрик расстраивается. Сколько пар одинаковых тапочек нужно купить, чтобы с вероятностью не меньше, чем 0,8 Патрик не расстраивался целую неделю (7 дней)?
Ответ:
Решение:
В Анчурии всего $K$ законов и $N$ министров. Вероятность того, что случайно взятый министр знает случайно выбранный закон, равна $p$. Однажды министры собрались на совет, чтобы написать Концепцию. Если хотя бы один министр знает закон, то этот закон будет учтён в Концепции, в противном случае этот закон в Концепции учтён не будет. Найдите:
а) Вероятность того, что ровно $M$ законов будут учтены в Концепции.
б) Математическое ожидание числа учтённых законов.
а) Вероятность того, что ровно $M$ законов будут учтены в Концепции.
б) Математическое ожидание числа учтённых законов.
Ответ:
Решение:
Имеется последовательность из 2015 цифр. Все цифры выбирались из множества от 0 до 9 случайным образом независимо друг от друга. В полученной последовательности производится следующая операция. Если несколько одинаковых цифр идут подряд, то их заменяют одной такой же цифрой. Например, если был фрагмент …044566667…, то вместо него получится …04567…
а) Найдите вероятность того, что последовательность укоротится ровно на одну цифру.
б) Найдите математическое ожидание длины новой последовательности.
а) Найдите вероятность того, что последовательность укоротится ровно на одну цифру.
б) Найдите математическое ожидание длины новой последовательности.
Ответ:
Решение:
Джон Сильвер и Билли Бонс играют в кости. У них есть одна игральная кость, и они бросают её по очереди до тех пор, пока у кого-нибудь не выпадет шестёрка. У кого выпала — тот и выиграл. Начинает Дж. Сильвер. Найдите вероятность того, что выиграет Б. Бонс.
Ответ:
Решение:
Стрелок стреляет по трём мишеням до тех пор, пока не собьёт все. Вероятность попадания при одном выстреле равна $p$.
а) Найдите вероятность того, что потребуется ровно 5 выстрелов.
б) Найдите математическое ожидание числа выстрелов.
а) Найдите вероятность того, что потребуется ровно 5 выстрелов.
б) Найдите математическое ожидание числа выстрелов.
Ответ:
Решение:
Неправдоподобная легенда гласит, что у Якоба Бернулли была монета, про которую он говорил: «Я совершенно точно знаю, что при десяти бросках этой удивительной монеты вероятность выбросить 6 орлов ровно такая же, как вероятность выбросить 7 орлов». Более того, легенда утверждает, что монета сохранилась и что недавно британские учёные исследовали её и установили, что Бернулли был абсолютно прав. Найдите вероятность выбросить орла при одном бросании этой монеты.
Ответ:
Решение:
Максим построил новый загон для своего любимого барана, соединив семь секций ограды в форме правильного семиугольника. Дочь Максима Надя покрасила загон во все цвета радуги: каждую секцию в свой цвет. Каждое утро баран с разбегу ломает лбом две случайные соседние секции ограды. Максим чинит обе секции, а на следующий день всё повторяется. Найдите вероятность того, что за неделю такой жизни Максиму ни разу не придётся чинить красную секцию забора.
Ответ:
Решение:
В 100 ящиков случайным образом кладут ровно 100 шариков. Какова вероятность того, что в последнем ящике окажется единственный шарик?
Ответ:
Решение:
На экзамене дается три задачи по тригонометрии, две по алгебре и пять по геометрии. Ваня решает задачи по тригонометрии с вероятностью $p_1=0{,}2$, по геометрии с вероятностью $p_2=0{,}4$, по алгебре с вероятностью $p_3=0{,}5$. Чтобы получить тройку, Ване нужно решить не менее пяти задач.
а) С какой вероятностью Ваня решит не менее пяти задач?
б) Ваня решил усиленно заняться задачами какого-нибудь одного раздела. За неделю он может увеличить вероятность решения заданий этого раздела на $0{,}2$.
Каким разделом следует заняться Ване, чтобы вероятность решить не менее пяти задач стала наибольшей?
в) Каким разделом следует заняться Ване, чтобы математическое ожидание числа решенных задач стало наибольшим?
а) С какой вероятностью Ваня решит не менее пяти задач?
б) Ваня решил усиленно заняться задачами какого-нибудь одного раздела. За неделю он может увеличить вероятность решения заданий этого раздела на $0{,}2$.
Каким разделом следует заняться Ване, чтобы вероятность решить не менее пяти задач стала наибольшей?
в) Каким разделом следует заняться Ване, чтобы математическое ожидание числа решенных задач стало наибольшим?
Ответ:
Решение:
Найдите вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз, в эксперименте, в котором:
а) симметричную монету бросают $n$ раз;
б) $n$ раз бросают монету, у которой вероятность выпадения орла при одном бросании равна $p$ ($0\lt p\lt 1$).
а) симметричную монету бросают $n$ раз;
б) $n$ раз бросают монету, у которой вероятность выпадения орла при одном бросании равна $p$ ($0\lt p\lt 1$).
Ответ:
Решение:
В тесте 20 вопросов, на каждый из которых можно ответить «да» или «нет». За каждый верный ответ Коля получает 1 балл. Коля отвечает на вопросы до тех пор, пока на очередной вопрос он не ответит неправильно: при первой же ошибке тест завершается.
Всего у Коли 10 попыток сдать тест. В каждой следующей попытке ни вопросы, ни их порядок не меняются. Так продолжается до тех пор, пока Коля не ответит верно на все вопросы или не исчерпает все попытки.
На все вопросы Коля отвечает наугад, поскольку ответов он не знает. Зато он пользуется информацией, полученной в предыдущих попытках: если с первого раза Коля не угадал ответ на новый для себя вопрос, то в следующей попытке он ответит на него верно.
а) Какое наименьшее гарантированное количество баллов получит Коля?
б) Что более вероятно: что Коля получит 20 баллов или что он получит меньше 20 баллов?
Всего у Коли 10 попыток сдать тест. В каждой следующей попытке ни вопросы, ни их порядок не меняются. Так продолжается до тех пор, пока Коля не ответит верно на все вопросы или не исчерпает все попытки.
На все вопросы Коля отвечает наугад, поскольку ответов он не знает. Зато он пользуется информацией, полученной в предыдущих попытках: если с первого раза Коля не угадал ответ на новый для себя вопрос, то в следующей попытке он ответит на него верно.
а) Какое наименьшее гарантированное количество баллов получит Коля?
б) Что более вероятно: что Коля получит 20 баллов или что он получит меньше 20 баллов?
Ответ:
Решение:
На борту авиалайнера $2n$ пассажиров, и авиакомпания загрузила для них $n$ порций питания с курицей и $n$ порций с рыбой. Известно, что пассажир с вероятностью 0,5 предпочитает курицу, и с вероятностью 0,5 — рыбу. Назовём пассажира недовольным, если ему осталось не то, что он предпочитает.
а) Найдите наиболее вероятное число недовольных пассажиров.
б) Найдите математическое ожидание числа недовольных пассажиров.
в) Найдите дисперсию числа недовольных пассажиров.
а) Найдите наиболее вероятное число недовольных пассажиров.
б) Найдите математическое ожидание числа недовольных пассажиров.
в) Найдите дисперсию числа недовольных пассажиров.
Ответ:
Решение:
28 февраля доктор прописал рассеянному Математику пилюли от рассеянности, которые надо принимать один раз в день после обеда. Математик купил две баночки, в каждой по 10 пилюль. Каждый день, начиная с 1 марта, Математик берёт с собой на работу одну из баночек (выбирая её случайным образом), после обеда достаёт из кармана баночку и принимает пилюлю.
а) Найдите вероятность того, что 14 марта Математик первый раз обнаружит, что в кармане лежит пустая баночка.
б) Найдите математическое ожидание числа пилюль, которые Математик принял к тому моменту, как обнаружил, что баночка пуста.
а) Найдите вероятность того, что 14 марта Математик первый раз обнаружит, что в кармане лежит пустая баночка.
б) Найдите математическое ожидание числа пилюль, которые Математик принял к тому моменту, как обнаружил, что баночка пуста.
Ответ:
Решение:
Артиллерийская система ракетного крейсера производит выстрел по цели. Если цель не поражена, система автоматически делает второй выстрел по той же цели. Третий выстрел по этой цели не производится. На борту крейсера 10 ракет. На учениях он выполняет стрельбы по нескольким целям в одинаковых условиях. Вероятность попадания при каждом одном выстреле равна $p$.
а) Если целей всего пять, какова вероятность того, что после стрельбы останется ровно три неиспользованных ракеты?
б) Найдите математическое ожидание числа поражённых целей, если всего целей девять.
а) Если целей всего пять, какова вероятность того, что после стрельбы останется ровно три неиспользованных ракеты?
б) Найдите математическое ожидание числа поражённых целей, если всего целей девять.
Ответ:
Решение: