Беспроигрышная лотерея устроена по следующим правилам. Игрок покупает лотерейный билет за $n$ рублей, причём цену он назначает сам ($n$ — целое, большее 1). Затем генератор случайных чисел выбирает случайное натуральное число из отрезка от 1 до $n$ включительно. Выигрыш игрока равен сумме делителей выбранного числа в рублях. Может ли игрок назначить цену лотерейного билета так, чтобы математическое ожидание выигрыша было больше его затрат?
Ответ:
Решение:
На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит $n$ пар носков. Двух одинаковых пар нет. Носки висят за сохнущей простыней, поэтому Рассеянный Ученый достает по одному носку на ощупь и сравнивает каждый новый носок со всеми предыдущими. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых к моменту, когда у Учёного окажется какая-нибудь пара.
Ответ:
Решение:
Работа Рассеянного Учёного связана с длительными командировками, и поэтому он часто летает самолётами одной и той же авиакомпании. У этой авиакомпании много одинаковых самолётов, и все они имеют имена. Поскольку Учёный летает не каждый день и даже не каждую неделю, можно считать, что всякий раз ему «достаётся» случайный самолёт. Из любопытства и по привычке Рассеянный Учёный каждый раз записывает, на каком самолёте он летит. В своём пятнадцатом полёте Учёный оказался на борту самолёта, гордо носящего имя «Симеон Дени Пуассон». После взлёта Учёный достал свою книжечку, чтобы записать имя самолёта, и обнаружил, что на «Пуассоне» он уже один раз летел, а прежде повторений не было. Оцените количество самолётов в авиакомпании.
Ответ:
Решение:
Муха ползет по решетке $n\times n$ из левого нижнего узла $A$ в верхний правый узел $B$, двигаясь только вправо или вверх (рис. 2). Каково математическое ожидание числа поворотов на траектории мухи, если в каждом узле, где есть ветвление, муха с равными вероятностями выбирает следующий отрезок пути?
Рис. 2
Рис. 2
Ответ:
Решение:
Если симметричную монету бросили $n$ раз, и орёл выпал $m$ раз, то $\frac{m}{n}$ называется частотой выпадения орла. Число $\frac{m}{n}-0{,}5$ называется отклонением частоты от вероятности, а число $\left|\frac{m}{n}-0{,}5\right|$ называется абсолютным отклонением. Например, если монету бросили 5 раз, и два раза выпал орёл, то отклонение равно $0{,}4-0{,}5=-0{,}1$, а абсолютное отклонение равно $|-0{,}1|=0{,}1$. Заметим, что отклонение и абсолютное отклонение являются случайными величинами.
Эксперимент состоит из двух частей: сначала монету бросают 10 раз, а потом — 100 раз. В каком из этих случаев больше математическое ожидание абсолютного отклонения частоты выпадения орла от вероятности?
Эксперимент состоит из двух частей: сначала монету бросают 10 раз, а потом — 100 раз. В каком из этих случаев больше математическое ожидание абсолютного отклонения частоты выпадения орла от вероятности?
Ответ:
Решение:
Иван Семёнов выполняет тест ЕГЭ по математике. Экзамен состоит из заданий трех типов: А, В и С. К каждому из заданий типа А даны на выбор четыре варианта ответа, только один из которых верный. Всего таких заданий 10. Задания типа В и С требуют развернутого ответа. Так как Ваня постоянно прогуливал, его познания в математике неглубоки. Задания типа А он выполняет, выбирая ответы наугад. Первое из заданий типа В Ваня решает с вероятностью $\frac{1}{3}$. Больше ничего Иван сделать не может. За правильный ответ на одно задание типа А ставится 1 балл, за задание типа В — 2 балла. С какой вероятностью Ваня наберёт больше 5 баллов?
Возьмите задания типа А из пробного варианта ЕГЭ 2008 года (http://ege.edu.ru/demo/math.zip) и проведите 10 раз эксперимент по случайному выбору ответов. Сравните результат с полученным теоретически (для 5 правильных ответов). Убедитесь, что результаты не сильно отличаются.
Возьмите задания типа А из пробного варианта ЕГЭ 2008 года (http://ege.edu.ru/demo/math.zip) и проведите 10 раз эксперимент по случайному выбору ответов. Сравните результат с полученным теоретически (для 5 правильных ответов). Убедитесь, что результаты не сильно отличаются.
Ответ:
Решение:
А и Б стреляют в тире, но у них есть только один шестизарядный револьвер с одним патроном. Поэтому они договорились по очереди случайным образом крутить барабан и стрелять. Начинает А. Найдите вероятность того, что выстрел произойдет, когда револьвер будет у А.
Ответ:
Решение:
Вероятность того, что купленная лампочка будет работать, равна $0{,}95$. Сколько нужно купить лампочек, чтобы с вероятностью $0{,}99$ среди них было не менее 5 работающих?
Ответ:
Решение:
Знатоки и Телезрители играют в «Что? Где? Когда?» до шести побед — кто первый выиграл шесть раундов, тот и победил в игре. Вероятность выигрыша Знатоков в одном раунде равна 0,6, ничьих не бывает. Сейчас Знатоки проигрывают со счетом $3:4$. Найдите вероятность того, что Знатоки все же выиграют.
Ответ:
Решение:
В Анчурии проходит единый государственный экзамен. Вероятность угадать верный ответ на каждый вопрос экзамена равна 0,25.
В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на 3 вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что 3 вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на 6 вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше — в 2011 или в 2012?
В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на 3 вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что 3 вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на 6 вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше — в 2011 или в 2012?
Ответ:
Решение:
Каждый день пёс Патрик сгрызает одну тапочку из имеющегося дома запаса. Строго с вероятностью 0,5 Патрик хочет сгрызть левую тапочку, и с вероятностью 0,5 — правую. Если желаемой тапочки нет, Патрик расстраивается. Сколько пар одинаковых тапочек нужно купить, чтобы с вероятностью не меньше, чем 0,8 Патрик не расстраивался целую неделю (7 дней)?
Ответ:
Решение:
В Анчурии всего $K$ законов и $N$ министров. Вероятность того, что случайно взятый министр знает случайно выбранный закон, равна $p$. Однажды министры собрались на совет, чтобы написать Концепцию. Если хотя бы один министр знает закон, то этот закон будет учтён в Концепции, в противном случае этот закон в Концепции учтён не будет. Найдите:
а) Вероятность того, что ровно $M$ законов будут учтены в Концепции.
б) Математическое ожидание числа учтённых законов.
а) Вероятность того, что ровно $M$ законов будут учтены в Концепции.
б) Математическое ожидание числа учтённых законов.
Ответ:
Решение:
Имеется последовательность из 2015 цифр. Все цифры выбирались из множества от 0 до 9 случайным образом независимо друг от друга. В полученной последовательности производится следующая операция. Если несколько одинаковых цифр идут подряд, то их заменяют одной такой же цифрой. Например, если был фрагмент …044566667…, то вместо него получится …04567…
а) Найдите вероятность того, что последовательность укоротится ровно на одну цифру.
б) Найдите математическое ожидание длины новой последовательности.
а) Найдите вероятность того, что последовательность укоротится ровно на одну цифру.
б) Найдите математическое ожидание длины новой последовательности.
Ответ:
Решение:
Джон Сильвер и Билли Бонс играют в кости. У них есть одна игральная кость, и они бросают её по очереди до тех пор, пока у кого-нибудь не выпадет шестёрка. У кого выпала — тот и выиграл. Начинает Дж. Сильвер. Найдите вероятность того, что выиграет Б. Бонс.
Ответ:
Решение:
Два ковбоя, Сэм и Билли, стреляют из револьвера в мишень по очереди до тех пор, пока кто-нибудь из них не попадёт. Ковбои стреляют одинаково хорошо: вероятность попасть при одном выстреле у каждого равна $\frac{2}{5}$. Начинает Сэм. Найдите вероятность того, что попадёт в мишень именно он.
Ответ:
Решение:
Стрелок стреляет по трём мишеням до тех пор, пока не собьёт все. Вероятность попадания при одном выстреле равна $p$.
а) Найдите вероятность того, что потребуется ровно 5 выстрелов.
б) Найдите математическое ожидание числа выстрелов.
а) Найдите вероятность того, что потребуется ровно 5 выстрелов.
б) Найдите математическое ожидание числа выстрелов.
Ответ:
Решение:
Неправдоподобная легенда гласит, что у Якоба Бернулли была монета, про которую он говорил: «Я совершенно точно знаю, что при десяти бросках этой удивительной монеты вероятность выбросить 6 орлов ровно такая же, как вероятность выбросить 7 орлов». Более того, легенда утверждает, что монета сохранилась и что недавно британские учёные исследовали её и установили, что Бернулли был абсолютно прав. Найдите вероятность выбросить орла при одном бросании этой монеты.
Ответ:
Решение:
Максим построил новый загон для своего любимого барана, соединив семь секций ограды в форме правильного семиугольника. Дочь Максима Надя покрасила загон во все цвета радуги: каждую секцию в свой цвет. Каждое утро баран с разбегу ломает лбом две случайные соседние секции ограды. Максим чинит обе секции, а на следующий день всё повторяется. Найдите вероятность того, что за неделю такой жизни Максиму ни разу не придётся чинить красную секцию забора.
Ответ:
Решение:
Неправдоподобная легенда гласит, что у Исаака Ньютона была монета, про которую он писал: «Я определённо доказал, что при десяти бросках этой удивительной монеты вероятность выбросить 5 орлов в точности такая же, как вероятность выбросить 6 орлов». Более того, легенда утверждает, что монета сохранилась и что недавно британские учёные исследовали её и установили, что Ньютон был совершенно прав. Найдите вероятность выбросить орла при одном бросании этой монеты.
Ответ:
Решение:
Максим построил новый загон для своего любимого барана, соединив семь секций ограды в форме правильного семиугольника. Дочь Максима Надя покрасила загон во все цвета радуги: каждую секцию в свой цвет. Каждое утро баран с разбегу ломает лбом две случайные соседние секции ограды. Максим чинит обе секции, а на следующий день всё повторяется. Найдите вероятность того, что за неделю такой жизни Максиму придётся чинить синюю секцию каждый день — семь раз.
Ответ:
Решение: