Алиса и Василиса коллекционируют наклейки с персонажами мультфильмов. Всего в коллекции 20 разных персонажей. У Алисы уже есть 14 разных наклеек, а у Василисы — 16. Какова вероятность того, что, объединив свои наклейки, они смогут выбрать из них полную коллекцию? Ответ округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
Множество, состоящее из $n$ последовательных натуральных чисел, назовём отрезком натурального ряда длиной $n$.
Из некоторого отрезка натурального ряда длиной $n$ случайным образом выбирают 15 чисел. При каком $n$ окажется наибольшей вероятность того, что среди выбранных окажутся числа 21, 190 и 2025?
Из некоторого отрезка натурального ряда длиной $n$ случайным образом выбирают 15 чисел. При каком $n$ окажется наибольшей вероятность того, что среди выбранных окажутся числа 21, 190 и 2025?
Ответ:
Решение:
В ящике $n$ пронумерованных шаров. Шары вынимали по одному в случайном порядке. Каждый раз вынутый шар возвращали в ящик и шары перемешивали перед следующим извлечением. Случилось так, что в четвертый раз вынули шар, который уже вынимали прежде, а перед этим повторов не было. При каком $n$ вероятность этого события наибольшая?
Ответ:
Решение:
На каждой из четырех карточек написано натуральное число. Берут наугад две карточки и складывают числа на них. С равной вероятностью эта сумма может быть меньше 9, равна 9 и больше 9. Какие числа могут быть записаны на карточках?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В Анчурии проходит чемпионат по шашкам в несколько туров. Дни и города проведения туров определяются жеребьевкой. По правилам чемпионата никакие два тура не могут пройти в одном городе, и никакие два тура не могут пройти в один день. Среди болельщиков устраивается лотерея: главный приз получает тот, кто до начала чемпионата правильно угадает, в каких городах и в какие дни пройдут все туры. Если никто не угадает, то главный приз перейдет в распоряжение оргкомитета чемпионата. Всего в Анчурии восемь городов, а на чемпионат отведено всего восемь дней. Сколько туров чемпионата должен назначить оргкомитет, чтобы с наибольшей вероятностью получить главный приз самому?
Ответ:
Решение:
В здании $n$ этажей и две лестницы, идущие от первого до последнего этажа. На каждой лестнице между каждыми двумя этажами на промежуточной лестничной площадке есть дверь, разделяющая этажи (с лестницы на этаж пройти можно, даже если дверь заперта). Комендант решил, что слишком много открытых дверей — это плохо, и запер ровно половину дверей, выбрав двери случайным образом. Какова вероятность того, что можно подняться с первого этажа на последний, проходя только через открытые двери?
Ответ:
Решение:
В автобусе $n$ мест, и все билеты проданы $n$ пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету.
Ответ:
Решение:
Муха ползет из начала координат. При этом муха двигается только по линиям целочисленной сетки вправо или вверх (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
Найдите вероятность того, что в какой-то момент:
а) муха окажется в точке $(8;10)$;
б) муха окажется в точке $(8;10)$, по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки $(5;6)$ и $(6;6)$;
в) муха окажется в точке $(8;10)$, пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке $(4;5)$.
Найдите вероятность того, что в какой-то момент:
а) муха окажется в точке $(8;10)$;
б) муха окажется в точке $(8;10)$, по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки $(5;6)$ и $(6;6)$;
в) муха окажется в точке $(8;10)$, пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке $(4;5)$.
Ответ:
Решение:
В некоторую карточную игру играют вчетвером. Чтобы определить, кому начинать игру, обычно бросают жребий «до первого туза». Всего в колоде 32 карты, от семёрок до тузов. Один из игроков раздаёт всем карты в открытую по очереди по часовой стрелке (себе — последнему), пока кому-то не достанется туз. Этому игроку и предстоит начать игру.
а) Для каждого игрока найдите вероятность того, что ему достанется первый туз.
б) Как изменить правила, чтобы сделать жребий справедливым?
а) Для каждого игрока найдите вероятность того, что ему достанется первый туз.
б) Как изменить правила, чтобы сделать жребий справедливым?
Ответ:
Решение:
Монету бросают $n$ раз. Полосой удачи длины $k$ назовем последовательность из $k$ выпавших подряд орлов. Найдите вероятность того, что при 10 бросаниях монеты самая длинная полоса удачи будет иметь длину 4.
Ответ:
Решение:
В выпуклом многоугольнике, в котором нечетное число вершин, равное $2n+1$, выбирают независимо друг от друга две случайные диагонали. Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри многоугольника.
Ответ:
Решение:
На конференцию приехали 18 ученых, из которых ровно 10 знают сногсшибательную новость. Во время перерыва (кофе-брейка) все ученые разбиваются на случайные пары, и в каждой паре каждый, кто знает новость, рассказывает эту новость другому, если тот её ещё не знал.
а) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 13.
б) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 14.
в) Обозначим буквой $X$ количество ученых, которые знают сногсшибательную новость после кофе-брейка. Найдите математическое ожидание $X$.
а) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 13.
б) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 14.
в) Обозначим буквой $X$ количество ученых, которые знают сногсшибательную новость после кофе-брейка. Найдите математическое ожидание $X$.
Ответ:
Решение:
Неправдоподобная легенда гласит, что однажды Стирлинг размышлял над числами Стирлинга второго рода и в задумчивости бросал на стол 10 правильных игральных костей. После очередного броска он вдруг заметил, что в выпавшей комбинации очков присутствуют все числа от 1 до 6. Тут же Стирлинг задумался, а какова же вероятность такого события? Какова вероятность, что при бросании 10 костей каждое число очков от 1 до 6 выпадет хотя бы на одной кости?
Ответ:
Решение:
На новогоднем празднике у троих первоклассников на голове красные колпаки, а у семерых — синие. Все десять встают в хоровод вокруг ёлки в случайном порядке. Найдите вероятность того, что хотя бы два первоклассника в красных колпаках окажутся рядом.
Ответ:
Решение:
На новогоднем празднике у троих первоклассников на голове зелёные колпаки, а у шестерых — красные. Все девять встают в хоровод вокруг ёлки в случайном порядке. Найдите вероятность того, что никакие два первоклассника в зелёных колпаках не окажутся рядом.
Ответ:
Решение:
Случайным образом в шеренгу становятся 20 воспитанников детского сада, из них 11 девочек и 9 мальчиков. Найдите вероятность того, что между первым и последним мальчиками окажется не больше пяти девочек.
Ответ:
Решение:
Турнир по анчурийским шашкам проводится в несколько туров. Если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остается без пары и не участвует в туре. Ничьей случиться не может, проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
На турнир по анчурийским шашкам приехало 26 участников, причем все они играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Среди игроков Денис и Олег. Найдите вероятность того, что они сыграют между собой.
На турнир по анчурийским шашкам приехало 26 участников, причем все они играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Среди игроков Денис и Олег. Найдите вероятность того, что они сыграют между собой.
Ответ:
Решение:
Три рыцаря случайным образом рассаживаются на стулья, расставленные вокруг стола при дворе короля Артура. Какова вероятность того, что по обе стороны от каждого рыцаря окажется свободный стул, если:
а) стульев всего 7?
б) стульев всего $n$?
а) стульев всего 7?
б) стульев всего $n$?
Ответ:
Решение:
Когда Витя был первоклассником, у него была касса цифр с 12 карточками: две карточки с цифрой 1, две карточки с цифрой 2 и так далее до цифры 6. Витя выложил их на стол в ряд в случайном порядке слева направо, а затем убрал первую единицу, первую двойку, первую тройку и так далее. Например, если у Вити сначала была последовательность 434653625112, то получилась бы последовательность 436512. Какова вероятность того, что у Вити на столе осталась последовательность 123456?
Ответ:
Решение: