Для положительных чисел $x$ и $y$ с суммой $7$ Петя выписал на доску числа \[\dfrac{x^2+y^2}{x+y},\quad\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2},\quad\dfrac{x^4+y^4}{x^3+y^3}.\] Оказалось, что выписанные числа образуют арифметическую прогрессию (в указанном порядке). Какое наибольшее значение может принимать сумма $x^2+y^2$?
Ответ:
Решение:
Пусть для некоторых чисел $x$, $y$, $z$ выполняется равенство \[ \frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}=1{,}5. \] Найдите наименьшее возможное значение выражения $\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}$.
Ответ:
Решение:
Известно, что одним из корней уравнения \[ x^2-4a^2b^2x=4 \] является $x_1=(a^2+b^2)^2$. Найдите $a^4-b^4$.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=2{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите десятичную запись числа \[ \frac{(2x-x^2)\cdot10^6}{33}+\left(\sqrt[3]{2}+1\right)\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}\right), \] если $x=0{,}9999$.
Ответ:
Решение:
Можно ли представить выражение \[ \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-(ax+bz)^2-(by-cx)^2-(cz+ay)^2 \] в виде квадрата некоторого многочлена от переменных $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$?
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ с нулевой суммой таковы, что \[ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49. \] Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$?
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения \[ K=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{xy} \] не изменяется, если $x$ уменьшить на 1, а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения $M=x^3-y^3-3xy$.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=1{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]
Ответ:
Решение:
Представьте в виде несократимой дроби \[ 7\frac{19}{2015}\times6\frac{19}{2016}-13\frac{1996}{2015}\times2\frac{1997}{2016}-9\times\frac{19}{2015}. \]
Ответ:
Решение:
На каком из пяти интервалов, на которые разбивают числовую ось четыре точки \[ x^5\lt y^8\lt y^3\lt x^6, \] лежит число $0$?
Ответ:
Решение:
Докажите, что число $\bigl(\sqrt3+\sqrt5+\sqrt7\bigr)^{2021}$ представимо в виде \[ n\sqrt3+m\sqrt5+k\sqrt7+l\sqrt{3\cdot5\cdot7}, \] где $n$, $m$, $k$, $l$ — натуральные числа, и при этом $1-10^{-500}\lt \sqrt{35}\,\dfrac{l}{n}\lt 1$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют равенству $\sqrt a=\sqrt b+\sqrt c$. Найдите $a$, если $b=52-30\sqrt3$ и $c=a-2$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Число $x=2^1+2^0+2^{-1}+2^{-2}+\ldots+2^{-2021}$. Найдите значение выражения \[ \sqrt{2x+4\sqrt{2x-4}}+\sqrt{2x-4\sqrt{2x-4}}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите целую часть числа $a+\dfrac{9}{b}$, где $a$ и $b$ — соответственно целая и дробная часть числа $\sqrt{76-42\sqrt3}$.
Ответ:
Решение: