Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет $50\%$ от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как $6:5$. Найдите количество членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
В возрастающей арифметической прогрессии $\{b_i\}$ дано $b_1=1$, $b_{b_2}=10$. Найдите $b_n$ с номером $n=b_{b_3}$.
Ответ:
Решение:
Две арифметические прогрессии содержат по 2015 членов каждая. Отношение последнего члена первой прогрессии к первому члену второй равно отношению последнего члена второй прогрессии к первому члену первой и равно 4. Отношение суммы всех членов первой прогрессии к сумме всех членов второй равно 2. Найдите отношение разностей этих прогрессий и приведите пример таких прогрессий.
Ответ:
Решение:
Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна 63, а первый член в полтора раза больше разности прогрессии. Если все члены прогрессии уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы первый член прогрессии был равен разности прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится не более, чем на 8, но не менее, чем на 7. Определите, какой может быть разность этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите первый член арифметической прогрессии $a_1$, $a_2$, $\ldots$, если $a_{13}=0$, а произведение чисел $5^{a_1}$, $5^{a_2}$, $\ldots$, $5^{a_{24}}$ равно их среднему арифметическому.
Ответ:
Решение:
$\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с $a_1=3$ и разностью $d=2$. $S_n$ — сумма первых ее $n$ членов. Функция $f(x)=ax^2+bx+c$ такова, что $f(a_n)=S_n$ для всех натуральных $n$. Найти $a$, $b$ и $c$.
Ответ:
Решение:
$\{a_k\}$ — арифметическая прогрессия, $S_n$ — сумма первых $n$ ее членов. Известно, что \[ S_m:S_n=m(m+2):n(n+2) \] при любых целых положительных $m$ и $n$. Найти отношение $a_{2015}:a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
В арифметической прогрессии, состоящей из $11$ членов, сумма квадратов первых пяти членов на $0{,}75$ больше суммы квадратов последних пяти членов. Найдите разность между суммой квадратов первых четырёх членов и суммой квадратов последних четырёх членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2^\circ$ и начинающуюся с угла $143^\circ$. Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?
Ответ:
Решение:
Третий член арифметической прогрессии равен $3x+3$, пятый член равен $(x^2+2x)^2$, а девятый равен $3x^2$. Найдите $x$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ — соответственно первый, второй и третий члены некоторой арифметической прогрессии (при этом $a$, $b$, $c$ не заданы, но известно, что $c\lt b\lt a$). Больший корень уравнения $ax^2-2bx+c=0$ является четвёртым членом этой прогрессии. Найдите его.
Ответ:
Решение:
$S$ — сумма первых 10 членов возрастающей арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, \ldots$, состоящей из целых чисел. Известно, что $a_6a_{12}\gt S+1$, $a_7a_{11}\lt S+17$. Укажите все возможные значения $a_1$.
Ответ:
Решение:
Дана конечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \ldots, a_n$ с положительной разностью, причём сумма всех её членов равна $S$, а $a_1\gt 0$. Известно, что если разность прогрессии увеличить в 3 раза, а её первый член оставить неизменным, то сумма $S$ увеличится в 2 раза. А во сколько раз увеличится $S$, если разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза (оставив первый член неизменным)?
Ответ:
Решение:
Сколько одинаковых членов находится среди первых $2000$ членов арифметических прогрессий $9, 11, 13, \ldots$ и $3, 8, 13, \ldots$?
Ответ:
Решение:
Маша и Саша делят между собой ягоды, собранные ими в лесу. Вначале Маша берёт $15$ ягод, далее дети берут ягоды по очереди, причём каждый берёт ровно на одну ягоду больше, чем предыдущий. Если количество ягод, которое ребёнок должен взять, превышает количество ягод в куче, он берёт все оставшиеся ягоды. В конце дележа у Маши оказалось $1012$ ягод. Сколько ягод было в куче?
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, каждое из которых при делении на $5$ даёт остаток, равный $2$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех натуральных трёхзначных чисел, не делящихся на 7, и имеющих последней цифрой 3.
Ответ:
Решение:
В бесконечной числовой последовательности $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ не все члены равны между собой. Для всех $n\geqslant2$ выполняется равенство \[ x_n=\frac{x_{n-1}+x_n+x_{n+1}}{3}. \] Найдите отношение $\dfrac{x_{2012}-x_{1006}}{x_{1006}-x_{503}}$.
Ответ:
Решение:
Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого её членов меньше 4. Найдите первый член этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
На бильярдном столе из одинаковых 153 шаров выложен правильный треугольник. Расположение шаров плотное: ни один дополнительный шар не может быть помещен в треугольник и любая пара соседних шаров в треугольнике касаются друг друга. Сколько шаров составляют сторону треугольника?
Ответ:
Решение: