Сумма пятого, восьмого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 66, а шестой, девятый и двенадцатый члены дают в сумме 81. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма четвертого, седьмого и десятого членов арифметической прогрессии равна 33, а третий, шестой и девятый члены дают в сумме 24. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма четвертого, восьмого и двенадцатого членов арифметической прогрессии равна 27, а третий, седьмой и одиннадцатый члены дают в сумме $21$. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма второго, шестого и десятого членов арифметической прогрессии равна 30, а четвертый, восьмой и двенадцатый члены дают в сумме 54. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма четвертого, седьмого и десятого членов арифметической прогрессии равна 45, а третий, шестой и девятый члены дают в сумме 36. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма третьего, седьмого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 63, а второй, пятый и восьмой члены дают в сумме 27. Найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найти все $x$, при которых числа $\{24\cdot9^x,~35\cdot6^x,~36\cdot4^x\}$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
Стрелок сделал $30$ выстрелов в мишень. За первое попадание ему начислили $13$ баллов, а за каждое следующее попадание начисляли на $0{,}9$ баллов больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал $215{,}4$ балла?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии в $3$ раза меньше суммы последующих пяти её членов. Найдите третий член этой прогрессии, если седьмой член равен $52$.
Ответ:
Решение:
Дана возрастающая арифметическая прогрессия $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ Известно, что \[a_3+a_6=23,\quad a_6^2-a_3^2=207.\] Чему равен девятый член прогрессии?
Ответ:
Решение:
Пусть $S_k$ обозначает сумму первых $k$ членов прогрессии. Известно, что для некоторой арифметической прогрессии при всех натуральных значениях $n$ справедливо соотношение \[ S_{3n}-S_n=12n^2+n. \] Найдите восьмой член прогрессии.
Ответ:
Решение:
На бильярдном столе из одинаковых 153 шаров выложен правильный треугольник. Расположение шаров плотное: ни один дополнительный шар не может быть помещен в треугольник и любая пара соседних шаров в треугольнике касаются друг друга. Сколько шаров составляют сторону треугольника?
Ответ:
Решение:
Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого её членов меньше 4. Найдите первый член этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
В бесконечной числовой последовательности $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ не все члены равны между собой. Для всех $n\geqslant2$ выполняется равенство \[ x_n=\frac{x_{n-1}+x_n+x_{n+1}}{3}. \] Найдите отношение $\dfrac{x_{2012}-x_{1006}}{x_{1006}-x_{503}}$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех натуральных трёхзначных чисел, не делящихся на 7, и имеющих последней цифрой 3.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, каждое из которых при делении на $5$ даёт остаток, равный $2$.
Ответ:
Решение:
Маша и Саша делят между собой ягоды, собранные ими в лесу. Вначале Маша берёт $15$ ягод, далее дети берут ягоды по очереди, причём каждый берёт ровно на одну ягоду больше, чем предыдущий. Если количество ягод, которое ребёнок должен взять, превышает количество ягод в куче, он берёт все оставшиеся ягоды. В конце дележа у Маши оказалось $1012$ ягод. Сколько ягод было в куче?
Ответ:
Решение:
Сколько одинаковых членов находится среди первых $2000$ членов арифметических прогрессий $9, 11, 13, \ldots$ и $3, 8, 13, \ldots$?
Ответ:
Решение:
Дана конечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \ldots, a_n$ с положительной разностью, причём сумма всех её членов равна $S$, а $a_1\gt 0$. Известно, что если разность прогрессии увеличить в 3 раза, а её первый член оставить неизменным, то сумма $S$ увеличится в 2 раза. А во сколько раз увеличится $S$, если разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза (оставив первый член неизменным)?
Ответ:
Решение: